עמוד הבית > מתמטיקה וסטטיסטיקה
מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכיתישראל. משרד החינוך. המינהל הפדגוגי. המחלקה למחונניםאוניברסיטת תל אביב. בית ספר לחינוך. היחידה לנוער שוחר מדע


תקציר
המספרים השלמים יחד עם השברים יוצרים את מערכת המספרים הרציונליים.



המספרים הרציונליים
מחבר: רועי יהושוע


עד לתקופתו של פיתגורס (המאה ה- 6 לפנה"ס) היו מוכרים שני סוגי מספרים:

המספרים השלמים – אלה כוללים את המספרים השלמים החיוביים (המכונים גם המספרים הטבעיים), האפס והמספרים השלמים השליליים (כאמור האפס והשליליים הוכרו רק באופן חלקי).

שברים – אלה מבטאים יחסים בין מספרים שלמים.

השלמים יחד עם השברים יוצרים את מערכת המספרים הרציונליים. מספר רציונלי מוגדר כמספר שניתן לרשום אותו כמנה של שני מספרים שלמים p/q כאשר q ≠ 0.

החבורה הפיתגוראית

פיתגורס מסמוס הינו אחת הדמויות המשפיעות והמסתוריות ביותר בתולדות המתמטיקה. לא הרבה ידוע על חייו של פיתגורס. מה שנראה כוודאי היא העובדה שפיתגורס היה זה שפיתח את רעיון הלוגיקה של המספרים, ותודות לגאונותו לא היו עוד מספרים אמצעי לספירה ולחישוב בלבד, אלא זכו לתשומת-לב בזכות עצמם.

פיתגורס שנולד ב- 570 לפנה"ס באי סמוס שבים האיגאי, רכש את המיומנויות המתמטיות שלו בעשרים שנה של מסעות ברחבי העולם העתיק. המתמטיקה של מצרים ושל בבל לא ריוותה את צימאון הדעת של פיתגורס. בארצות אלה המתמטיקה שימשה מקור לאספקת כלים שימושיים, מעין מאגר של "מתכונים" שנועדו לפתור חישובים דרושים. פיתגורס, לעומת זאת, היה אחד הראשונים שתפסו את המספרים כישויות מופשטות הקיימות בפני עצמן.

בחזרתו ממסעותיו הקים פיתגורס בקרוטון, יישב יווני משגשג בדרום איטליה, בית-ספר שהתמקד בארבעה נושאי לימוד: אריתמטיקה (במובן תורת המספרים, ולאו דווקא חשבון), הרמוניה (מוסיקה), גיאומטריה ואסטרונומיה. יחד הם נקראו הקוואדריוויום. עליהם נוסף בתקופת ימי-הביניים הטריוויום, שכלל את הדקדוק, הרטוריקה והלוגיקה. שבעת המדעים האלה נחשבו למרכיבים החיוניים בלימודיו של כל אדם משכיל.

תלמידי בית-הספר עצמם היו אחווה מלוכדת; חבריה חלקו ביניהם את כל נכסיהם החומריים, וחויבו בשבועה שלא לגלות את תגליותיהם המדעיות לאחרים. אפילו אחרי מותו של פיתגורס הוטבע אחד מבני החבורה, משום שהפר את שבועתו – הוא פירסם ברבים את גילויו של גוף משוכלל חדש, הדודקהדרון, המורב משנים-עשר מחומשים משוכללים.

למעשה היתה החבורה הפיתגוראית מעין כת דתית, ואחד מאלילי הכת היה המספר. הפיתגוראים סברו שהיקום כולו מבוסס על המספרים השלמים והיחסים ביניהם, ושאלה שולטים בכל תופעות הטבע החל מהרמוניות מוזיקליות ועד מסלול כוכבי-הלכת. הם האמינו שהבנת היחסים בין המספרים תחשוף את סודותיו של היקום ותקרב אותם לאלים. הסמל של החבורה, שאותו הפיתגוראים ענדו על בגדיהם, היה הפנטגרם – זהו כוכב מחומש, המתקבל כתוצאה מחיבור הקודקודים של מחומש משוכלל זה לזה, כפי שניתן לראות באיור הבא (הפנטגרם הגדול צבוע באדום):

לפנטגרם יש כמה תכונות גיאומטריות מעניינות. אם תעבירו אלכסונים בין כל קודקודיו של מחומש, תקבלו את הכוכב המחומש. אלכסונים אלה גם יוצרים מחומש קטן יותר במרכז, ואלכסוני המחומש הזה יוצרים כוכב מחומש ועוד מחומש משוכלל. אפשר להוסיף ולהתקדם כך עד בלי גבול, תוך יצירת מחומשים וכוכבים מחומשים הולכים וקטנים.

בנוסף כל אחד מחמשת המשולשים שווי-השוקיים היוצרים את פינות הפנטגרם הוא בעל התכונה הבאה: היחס בין אורך כל אחת מהצלעות הארוכות שלו לבין הצלע הקצרה (הבסיס) שווה ליחס הזהב, ...1.618033. יחס הזהב הוא אחד מהיחסים המתמטיים החשובים ביותר, ויש לו נטייה מסתורית להופיע במקומות שונים ומשונים: בקונכיות, בתפרחות של חמניות, בצורותיהן של גלקסיות, ביצירות אמנות, באדריכלות ובמוסיקה, ואפילו יש לו קשר הדוק לסדרת פיבונצ'י עליה דיברנו בשיעור הקודם! היו שייחסו לו תכונות קסם ויש שכינו אותו "המספר האלוהי" המצוי בכול (פרטים נוספים תוכלו למצוא באתר המקושר).

המשנה הפיתגורית היא תערובת מוזרה של פילוסופיה קוסמית ומיסטיקה מספרית, שבה לכל דבר גשמי או רוחני, הותאם מספר טבעי מסוים. בכתביהם מוצאים שהמספר 1 מייצג את ההגיון, שכן ההגיון יכול להניב רק גוף אמת עקבי יחיד; 2, המספר הנקבי הראשון, הוא יסוד הדעה; 3, המספר הזכרי הראשון, הוא יסוד ההרמוניה; 4, הוא יסוד הצדק, שכן זהו המספר הראשון שהוא מכפלת שווים; 5 הוא יסוד הנישואין, בהיותו שווה לסכום של המספר הנקבי הראשון והמספר הזכרי הראשון, וכך הלאה. עשר היה המספר הנערץ ביותר, משום שהוא ייצג את הקוסמוס במלואו, כיוון ש- 4+3+2+1=10, ולכן 10 מאחד את כל המספרים המייצגים את ארבעת המימדים: 1 מייצג נקודה שהיא חסרת מימדים, 2 מייצג קו הנקבע ע"י שתי נקודות והוא בעל מימד אחד, 3 מייצג משולש שלשטחו שני מימדים, ו- 4 מייצג את הטטרהדרון – פירמידה הבנויה מארבע פאות משולשות, בעלת נפח בשלושה מימדים.

כהוכחה לתפיסתם שתופעות הטבע נשלטות בידי מספרים, הפיתגוראים הראו שיחסים מספריים הם אלה האחראים להרמוניות המוזיקליות. פיתגורס בחן את התכונות של מיתר של כינור. קיבוע נקודות שונות לאורך המיתר מאפשר הפקה של צלילים שונים. פיתגורס מצא שצלילים הרמוניים (כלומר צלילים שנשמעים "טוב" לאוזן) נוצרים רק בנקודות ספציפיות לאורך המיתר – נקודות המקיימות יחס של שבר פשוט עם אורך המיתר.

לדוגמא, קיבוע המיתר בנקודה שנמצאת בדיוק בחצי אורכו (כלומר ביחס של 1:2) תפיק צליל שיהיה גבוה באוקטבה אחת וישמור על הרמוניה עם הצליל המקורי. בדומה לכך, קיבוע המיתר בנקודות אחרות המקיימות יחס של שבר פשוט עם אורך המיתר ייצור צלילים הרמוניים אחרים (לדוגמא קווינטה מתקבלת מיחס 2:3 וקוורטה מתקבלת מיחס 3:4). לעומת זאת, קיבוע המיתר בנקודה שלא יוצרת יחס של שבר פשוט עם האורך המקורי, תיצור צליל צורם לאוזן.

ובכן, תהו הפיתגוראים, אם אפשר להביע במספרים הרמוניה מוזיקלית, אז למה לא את כל היקום? הם הגיעו איפוא לכלל מסקנה שמאפייניהם של כל הדברים ביקום נובעים מטבעו של המספר. לדוגמא, תצפיות אסטרונומיות מלמדות כי תנועותיהם של גרמי השמיים אף הן סדירות לחלוטין וכפופות לסדר מוגדר היטב. מכאן נולד הרעיון בדבר "הרמוניית הספירות" היפהפייה– התפיסה שגרמי השמיים, בתנועותיהם הסדירות, גם מפיקים מוסיקה הרמונית.

מכל הקשרים בין המספרים לטבע שנחקרו בידי החבורה, נראה כי המשפט שנושא את שמו של מייסד החבורה הוא החשוב ביותר. כזכור, משפט פיתגורס קובע שבכל משולש ישר-זווית ריבוע היתר שווה לסכום הריבועים של שני הניצבים. או בסימנים: אם נסמן ב- a וב- b את הניצבים (הצלעות שליד הזווית הישרה) וב- c את היתר (הצלע שמול הזווית הישרה) אזי מתקיים היחס: a2 + b2 = c2.

זהו אחד מהיחסים החשובים ביותר הקיימים בטבע, כיוון שהוא מגדיר את היחס המתקיים בין המאונך למאוזן, ובסופו של דבר גם את היחס בין שלושת המימדים של היקום המוכר לנו (אורך, רוחב וגובה). נראה כיצד הפיתגוראים הוכיחו את המשפט הזה בשיעור על התפתחות הגיאומטריה.

אירוני הדבר שדווקא החבורה הפיתגוראית שהאמינה שהמספרים הרציונליים (המספרים השלמים והשברים) יכולים להסביר את כל תופעות הטבע, היא זו שגילתה שקיימים מספרים שאינם רציונליים, כלומר מספרים שאינם שלמים וגם אי אפשר לבטא אותם כיחס בין שלמים, ועל התגלית המדהימה הזו נדון בסעיף הבא.

לפרקים נוספים בנושא:
מערכת המספרים
המספרים הטבעיים
שברים
המספר אפס
המספרים הרציונליים
גילוי המספרים האי-רציונליים

ביבליוגרפיה:
כותר: המספרים הרציונליים
מחבר: יהושוע, רועי
שם  הפרסום מקורי: ההיסטוריה של המתמטיקה
תאריך: 2003
הוצאה לאור: מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכית; ישראל. משרד החינוך. המינהל הפדגוגי. המחלקה למחוננים; אוניברסיטת תל אביב. בית ספר לחינוך. היחידה לנוער שוחר מדע
הערות: 1. מתוך קורס וירטואלי בנושא "ההיסטוריה של המתמטיקה" שפותח עבור תלמידים מחוננים.
הערות לפריט זה:

1. זהו חלקו החמישי של הפרק "מערכת המספרים".


הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית