מערכות מספרים פוזיציונליות (מיקומיות)

מהן הבעיות הקיימות במערכות המספרים האדיטיביות, כמו אלו של המצרים והרומאים?

למערכות המספרים האדיטיביות ישנם חסרונות ברורים. כתיבה של מספרים קטנים יחסית דורשת שימוש במספר רב של סימנים (לדוגמא כדי לכתוב את המספר 999 במערכת המספרים המצרית יש להשתמש ב- 27 סימנים, בעוד שבמערכת המספרים שלנו מספיקים שלושה סימנים); בנוסף בכל פעם שעולים בחזקה של 10, יש להמציא סימן חדש במערכת, כך שכדי לייצג את כל המספרים האפשריים נצטרך שיהיו אינסוף סימנים שונים במערכת.

כמו-כן לא קיימת דרך נוחה ופשוטה לביצוע פעולות כפל וחילוק במערכת מספרים אדיטיבית, כמו שקיימת במערכת המספרים שלנו. נסו לחשוב כיצד אפשר לכפול את שני המספרים MMCLXI ו- MDCXIX (מבלי לתרגם אותם למספרים במערכת שלנו) – תגלו שהמשימה איננה פשוטה כלל ועיקר!

בתקופה שבין 2000-3000 לפנה"ס, פיתחו הבבלים מערכת מספרים מסוג חדש – מערכת מספרים פוזיציונלית (מיקומית), שנחשבת לאחת מההמצאות הגאוניות ביותר בתולדות המתמטיקה. מערכת מספרים זו מבוססת על הרעיון שבו הערך של כל סימן במערכת אינו קבוע, אלא נקבע על פי המיקום שלו בין יתר הסימנים המרכיבים את המספר.

במערכת מספרים פוזיציונלית, לאחר שקובעים מספר כלשהו b בתור בסיס הספירה, צריך להגדיר סימנים בסיסיים רק עבור המספרים b – 1 , י .... 2, 1, 0, כלומר קיימים רק b סימנים שונים במערכת, שנקראים גם הספרות (digits) של המערכת.

הערך של כל ספרה במספר נקבע עפ"י המיקום שלה במספר באופן הבא – הערך של כל ספרה במספר הוא כפולה של החזקה של הבסיס b, כאשר בכל פעם שהספרה זזה מקום אחד שמאלה, משתמשים בחזקה אחת גבוהה יותר של b. כלומר, הערך של מספר כלשהו N שמורכב מרצף הסימנים הבסיסיים a_n a_n-1…a₂a₁a₀ הוא:

N = a_n ∙ bⁿ + a_n-1 ∙ b^n-1 + … + a₂b² + a₁b + a₀

לדוגמא, מערכת המספרים שלנו (המכונה גם מערכת המספרים ההודו-ערבית) היא מערכת מספרים פוזיציונלית עשרונית, כלומר בסיס הספירה במערכת הוא b = 10. במערכת שלנו ישנם עשרה סימנים בסיסיים (ספרות) בלבד:
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, שבעזרתם ניתן לכתוב את כל המספרים הקיימים.

כאשר אנו כותבים לדוגמא את המספר 5274, הערך של כל אחת מהספרות במספר נקבע עפ"י המיקום שלה במספר. הספרה 4 המופיעה ראשונה מצד ימין מציינת כמה אחדות יש לנו במספר, כלומר כמה כפולות של 10⁰ המספר מכיל, הספרה 7 המופיעה לשמאלה מציינת כמה עשרות יש לנו במספר, כלומר כמה כפולות של 10¹ המספר מכיל, הספרה 2 המופיעה אחריה מציינת כמה מאות יש לנו במספר, כלומר כמה כפולות של 10² המספר מכיל, ולבסוף הספרה האחרונה 5 מציינת כמה אלפים יש לנו במספר, כלומר כמה כפולות של 10³ המספר מכיל.

ובסך-הכל הערך של המספר המתקבל הוא:

4+ 70+ 200 + 5000 = 10⁰∙ 4+ 10¹∙ 7+ 10²∙ 2+ 10³∙ 5= 5274

עכשיו ברור למה מערכת המספרים שלנו נקראת מערכת מספרים פוזיציונלית עשרונית – מצד אחד, הערך של כל סימן במערכת שלנו אינו קבוע ותלוי במיקום של הסימן במספר (מכאן השם פוזיציונלית), ולכן למשל החלפה של סדר הסימנים במספר משנה את הערך שלו (5274 ו- 2574 מייצגים שני מספרים שונים). מצד שני, הערך של כל סימן במספר נקבע עפ"י החזקה המתאימה של 10, כאשר מתחילים מ- 10⁰ (אחדות), וממשיכים בחזקות עוקבות של 10 (עשרות, מאות, אלפים וכו'), ולכן בסיס המערכת הוא עשר (מכאן השם עשרונית או דצימלית בלעז).

באופן דומה ניתן להגדיר מערכות מספרים פוזיציונליות לא-עשרוניות. לדוגמא נסתכל על מערכת מספרים פוזיציונלית שבה הבסיס הוא המספר חמש (נקראת גם מערכת קווינרית – מהמילה הלטינית קווינטה שפירושה חמש). במערכת מספרים כזו מספיקים לנו חמישה סימנים בסיסיים (ספרות) בלבד לייצוג המספרים 4, 3, 2, 1, 0. נניח שנשתמש באותם חמישה סימנים ראשונים מהמערכת שלנו לייצוג המספרים האלה.

מהו הערך של המספר 3112 במערכת הקווינרית?
גם במערכת החדשה שהגדרנו הערך של כל ספרה במספר נקבע עפ"י המיקום שלה במספר, אולם הפעם נשתמש בחזקות עוקבות של 5 במקום חזקות של 10 כדי לקבוע את הערך של כל ספרה. לכן הערך של 3112 במערכת הקווינרית הוא:

407 = 2 + 5 + 25+ 125∙ 3= 2+ 5∙ 1+ 5²∙ 1+ 5³∙ 3= ₅(3112 )

כדי להבדיל את המספר 3112 הכתוב בבסיס 5 מהמספר הרגיל 3112 הכתוב בבסיס 10 נציין מתחת לסוגריים את הבסיס שבו מתייחסים למספר.

באותה מידה ניתן גם לתרגם כל מספר במערכת שלנו למספר במערכת הקווינרית. כיוון שכל מספר ניתן לפירוק לכפולות של חזקות עוקבות של 5 (או של כל בסיס אחר), ניתן לכתוב כל מספר בעזרת חמש הספרות 4, 3, 2, 1, 0. בלבד בבסיס 5.

לדוגמא, נניח שברצוננו לכתוב את המספר 108 בבסיס 5. תחילה נבדוק מהי החזקה הגבוהה ביותר של 5 שנכנסת במספר 108, ונגלה שזהו 25= 5², כיוון ש- 125= 5³הוא כבר מספר גדול מדי. החזקה הזו נכנסת במספר 4 פעמים
(100 = 4∙ 25) , ולכן הספרה הראשונה שתופיע במספר מצד שמאל היא הספרה 4. נותר לנו לטפל בשארית
8 = 100 – 108 . נמשיך עם חזקות יורדות של 5, ונבדוק עבור כל חזקה – כמה פעמים היא נכנסת במספר שנותר. כמה פעמים 5¹ נכנס במספר 8, כלומר כמה חמישיות יש ב- 8 ? חמישיה אחת, ולכן הספרה הבאה במספר היא 1, ונותרים עם השארית 3 = 5 – 8. כמה פעמים 5⁰ נכנס במספר 3, כלומר כמה אחדות יש ב- 3 ? יש לנו 3 אחדות, ולכן הספרה האחרונה תהיה 3. ובסך-הכל קיבלנו שהייצוג של 108 בבסיס 5 הוא ₅(413 ).
כדי לבדוק את עצמינו נחשב מהו הערך של המספר ₅(413 ) :

108= 3 + 5 + 25 ∙ 4= 3+ 5 ∙ 1+ 5²∙ 4 = ₅(413 )

ואכן קיבלנו את המספר המקורי 108.

כשהבסיס b הוא קטן, מצד אחד יש פחות ספרות במערכת אבל מצד שני כמות הספרות הדרושה כדי לייצג מספר כלשהו היא גדולה יותר. המקרה הפשוט ביותר הוא b = 2. מערכת ספירה שבה הבסיס הוא שתיים נקראת מערכת ספירה בינרית (מהמילה הלטינית binarius שמשמעה "של שני חלקים"). במערכת זו יש רק שתי ספרות: 0 ו- 1. העובדה שניתן לייצג כל מספר במערכת הספירה הבינרית, משמעה שלכל מספר קיימת הצגה יחידה כסכום חזקות שונות של 2.

את 105, למשל, ניתן להציג כך:

1 + 2³ + 2⁵ + 2⁶ = 1 + 2∙ 0 + 2²∙ 0 + 2³∙ 1 + 2⁴∙ 0 + 2⁵∙ 1 + 2⁶∙ 1 = 105

כלומר ₂(1101001) = 105.

בכיוון ההפוך, את ₂(1001111) ניתן לתרגם ל-

79 = 1 + 2 ∙ 1 + 2²∙ 1 + 2³ ∙ 1 + 2⁴∙ 0 + 2⁵∙ 0 + 2⁶∙ 1

השיטה הבינרית נוחה במיוחד לשימוש במחשבים, שכן מספרים בינריים מיוצגים ע"י רצף של אפסים ואחדות. 0 ו- 1 ניתנים לייצוג ע"י מתג אלקטרוני הנמצא במצב פתוח או סגור.

ראשית המתמטיקה - פרקים נוספים:

ראשית המתמטיקה
עצם האישנגו
מערכות מספרים קדומות
מערכת המספרים המצרית
מערכת המספרים הרומאית
מערכת המספרים הבבלית
מערכת המספרים ההודו-ערבית