עמוד הבית > מתמטיקה וסטטיסטיקה
מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכיתישראל. משרד החינוך. המינהל הפדגוגי. המחלקה למחונניםאוניברסיטת תל אביב. בית ספר לחינוך. היחידה לנוער שוחר מדע


תקציר
הפיתגוראים המציאו סוג חדש של מספרים. מספרים שהם אינם שלמים וגם אינם שברים. הם קראו למספרים האלה מספרים אי-רציונליים (לא הגיוניים).



גילוי המספרים האי-רציונליים
מחבר: רועי יהושוע


ניתן לתת תיאור גיאומטרי פשוט למספרים הרציונליים בעזרת ישר המכונה קו המספרים או ציר המספרים.

ניקח ישר כלשהו ונסמן עליו את הראשית בנקודה O. לאחר מכן נסמן נקודה I מימין לנקודה O כך שהקטע OI יהיה שווה באורכו ליחידה אחת. אם נגדיר שהנקודה O מייצגת את המספר 0 והנקודה I מייצגת את המספר 1, נוכל לייצג את כל המספרים השלמים החיוביים והשליליים ע"י קבוצת הנקודות על הישר שמרוחקות מרחק של יחידה אחת זו מזו באופן הבא:

עכשיו, את כל השברים שהמכנה שלהם הוא 2, כלומר כל המספרים הרציונליים מהצורה p/2 נוכל לייצג ע"י נקודות המחלקות את כל אחד מהמרווחים שנוצרו לשני קטעים שווים באופן הבא:

לאחר מכן נוכל לייצג את כל השברים שהמכנה שלהם הוא 3, כלומר את כל המספרים הרציונליים מהצורה p/3 ע"י נקודות המחלקות את כל אחד מהמרווחים לשלושה קטעים שווים. ובאופן כללי, נוכל לייצג את כל השברים שהמכנה שלהם הוא מספר שלם q כלשהו, כלומר את כל המספרים הרציונליים מהצורה p/q ע"י חלוקה של כל אחד מהמרווחים ל- q קטעים שווים, ובאופן כזה להתאים לכל מספר רציונלי נקודה על הישר.

למתמטיקאים הקדמונים היה ברור שכתוצאה מכך נכסה את כל הנקודות על הישר – כלומר ע"י בחירה של מכנה מתאים q וחלוקה של כל מרווח ל- q קטעים שווים נוכל להגיע לכל נקודה שנמצאת בתוך המרווח. אולם הפיתגוראים נחרדו לגלות תגלית מדהימה – הם גילו שישנן נקודות על הישר שלא מתאימות לאף מספר רציונלי. בפרט, הם הראו שלא קיים מספר רציונלי שמתאים לנקודה P על הישר, כך שאורך הקטע OP שווה לאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו הוא יחידה אחת:

כלומר לא משנה איזה חלוקה נבחר של הקטע בין המספרים 1 ו- 2 ל- q קטעים שווים, לעולם לא נוכל לפגוע בנקודה P המסומנת על הישר.

בעקבות כך, הפיתגוראים נאלצו להמציא סוג חדש של מספרים שיתאימו לנקודות האלה, מספרים שהם אינם שלמים וגם אינם שברים. הם קראו למספרים האלה מספרים אי-רציונליים (לא הגיוניים). למעשה המספר האי-רציונלי הראשון שהפיתגוראים גילו הוא 2√, השווה לאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת:

האלכסון מחלק את הריבוע לשני משולשים ישרי-זווית. אם נסמן את אורך האלכסון ב- x, הרי שלפי משפט פיתגורס מתקיים:

2=12+12=x2
2√=x

מן העובדה שלא ניתן לבטא את היחס בין האלכסון והצלע של הריבוע בצורה של שבר נובע ששני הקטעים האלה הם חסרי מידה משותפת, כלומר גם אם נחפש היטב לא נוכל למצוא אמת-מידה קטנה כלשהי, שתהיה מוכלת מספר שלם של פעמים בכל אחד מהקטעים. התגלית הזו זיעזעה את פיתגורס עד-כדי-כך שהוא הורה לשמור עליה בסוד מוחלט. יש אף סיפור שטוען, שהוא דן את אחד מהחברים באסכולה הפיתגורית למוות בטביעה, כיוון שאיים לחשוף את הסוד הנורא.

למעשה, מספרים אי-רציונליים הם משונים עד-כדי-כך, שלא ניתן לכותבם בצורה עשרונית, אפילו לא כשבר מחזורי. שבר מחזורי כמו ...0.11111 הוא למעשה שבר פשוט השווה ל- 1/9. העובדה שהספרה '1' חוזרת על עצמה עד אינסוף מלמדת שהתבנית העשרונית היא פשוטה וסדורה, ולכן ניתן להפוך אותה לתבנית של שבר. לעומת זאת, אם מנסים לבטא מספר אי-רציונלי בצורה עשרונית מקבלים רצף של ספרות שנמשך עד אינסוף, בלא סדירות ובלא תבנית קבועה. לדוגמא, אם ננסה לבטא את 2√ בצורה עשרונית נקבל ...1.414213562, כלומר לעולם לא נוכל לכתוב את המספר בצורה מפורשת, אלא רק אומדן של המספר!

ההוכחה שאכן קיימים מספרים אי-רציונליים, כלומר קיימים מספרים שלא ניתן לבטא אותם לעולם בצורת שבר, הופיעה רק מאתיים שנה מאוחר יותר בספרו המפורסם של אוקלידס האלמנטים (עוד נדבר עליו בהמשך הקורס). אוקלידס נתן הוכחה מתמטית לעובדה שהמספר 2√ הוא אי-רציונלי. שיטת ההוכחה שלו היא על דרך השלילה, הנקראת גם בשם reductio ad absurdum – בשיטה זו מניחים שהטענה שרוצים להוכיח היא לא נכונה, ואז בעזרת שרשרת של מסקנות לוגיות מגיעים לסתירה, שממנה נובע שהטענה המקורית לא יכולה להיות שקרית, כלומר היא חייבת להיות נכונה. שיטת הוכחה זו היא לעיתים נשקו הטוב ביותר של המתמטיקאי. במקרים שבהם קשה או בלתי-אפשרי להוכיח את הטענה המקורית בצורה ישירה, ניתן להניח דווקא את ההיפך – שהטענה לא נכונה ואז להראות שמגיעים לסתירה. נפנה עתה להוכחה עצמה:

הוכחה שהמספר 2√ הוא אי-רציונלי

נניח בשלילה ש- 2√ הוא מספר רציונלי, כלומר קיימים מספרים שלמים p ו- qי (0≠q) כך שמתקיים

כמו-כן נניח שהשבר p/q רשום בצורתו המצומצמת (תזכורת: שבר מצומצם הוא שבר שבו למונה ולמכנה אין גורמים משותפים).

עתה נעלה בריבוע את שני האגפים של המשוואה:


p2=2q2

המספר 2q2 הוא זוגי, כי הוא כפולה של 2, ולכן גם המספר p2 הוא זוגי. עתה, אם ידוע שריבוע של מספר שלם הוא זוגי, אז גם המספר עצמו חייב להיות זוגי (הוכחת טענה זו תינתן לכם כתרגיל), ולכן גם p הוא זוגי.

אבל אם p הוא זוגי, אז הוא כפולה של 2 ולכן ניתן לרשום אותו כ p = 2m, כש-m הוא מספר שלם אחר כלשהו. נציב זאת במשוואה האחרונה p2 = 2q2, ונקבל:

2m)2 = 2q2)
4m2 = 2q2
q2 = 2m2

אבל על-פי אותם טיעונים שבהם השתמשנו קודם, נובע מהמשוואה האחרונה ש- q2 הוא זוגי, ולכן גם המספר q הוא זוגי. בסך-הכל קיבלנו שגם p וגם q הם מספרים זוגיים, וזוהי סתירה לכך שניתן לכתוב את 2√ כשבר מצומצם מהצורה p/q. הגענו לסתירה, ולכן המספר 2√ חייב להיות אי-רציונלי.

מש"ל

במשך זמן מה, 2√ היה המספר האי-רציונלי היחיד המוכר ליוונים. מאוחר יותר, המתמטיקאי תיאודורוס (465-398 לפנה"ס), תלמידו של פיתגורס, הראה שהמספרים

√3, √5, √6, √7, √8, √10, √11, √12, √13, √14, √15, √17,

הם גם כן אי-רציונליים, ובשלב זה מסיבה לא ברורה הוא עצר. לאחר מכן תלמידו המתמטיקאי תיאטטוס הרחיב את התוצאה של מורו, והוכיח שהשורש של כל מספר שאינו ריבועי (מספר שאיננו ריבוע של מספר אחר) הוא אי-רציונלי.

לפרקים נוספים בנושא:
מערכת המספרים
המספרים הטבעיים
שברים
המספר אפס
המספרים הרציונליים
גילוי המספרים האי-רציונליים

ביבליוגרפיה:
כותר: גילוי המספרים האי-רציונליים
מחבר: יהושוע, רועי
שם  הפרסום מקורי: ההיסטוריה של המתמטיקה
תאריך: 2003
הוצאה לאור: מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכית; ישראל. משרד החינוך. המינהל הפדגוגי. המחלקה למחוננים; אוניברסיטת תל אביב. בית ספר לחינוך. היחידה לנוער שוחר מדע
הערות: 1. מתוך קורס וירטואלי בנושא "ההיסטוריה של המתמטיקה" שפותח עבור תלמידים מחוננים.
הערות לפריט זה:

1. זהו חלקו השישי של הפרק "מערכת המספרים".


הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית