שברים

השלב הבא בהתפתחות המספרים היה הוספת השברים למערכת המספרים.

אנו מוצאים עדות ראשונה לשימוש בשברים כבר אצל המצרים הקדמונים, אולם השברים שבהם השתמשו המצרים היו מיוחדים במינם, והם נקראים שברים יסודיים (unit fractions) או שברים מצריים. אלה שברים שהמונה שלהם הוא 1 והמכנה מספר טבעי כלשהו, כלומר שברים מהצורה n/י1.

המצרים כתבו שבר יסודי באמצעות סמל מיוחד בצורת אליפסה, שנכתב מעל המספר המציין את המכנה. לדוגמא

בנוסף היה להם סימן מיוחד עבור השבר 2/3 :

המושג הכללי של שבר מהצורה m/n, כפי שאנחנו מכירים אותו, לא היה ידוע למצרים והתפתח רק בשלב מאוחר יותר. לפיכך, המצרים הקדמונים ביטאו כל שבר כסכום של שברים יסודיים, כלומר שברים שהמונה שלהם הוא 1. במילים אחרות, שבר כללי לא היה קיים בפני עצמו, אלא משהו הדורש שינוי, העברה לסכום של שברים מצריים. לכן, לדוגמא במקורות המצריים לא קיים כלל השבר 3/5, אלא במקומו המצרים רשמו את הסכום 1/15 + 1/5 + 1/3, שערכו שווה ל- 3/5.

המצרים בנו לעצמם טבלאות פירוק שונות, שנועדו לסייע להם בפירוק של שברים כלליים לסכום של שברים יסודיים. הטבלה המפורסמת ביותר היא זו המופיעה בתחילתו של הפפירוס רינד. הפפירוס רינד הינו מגילת גומא ענקית שהועתקה בסביבות 1650 לפנה"ס ממסמכים קודמים בידי סופר מצרי בשם אחמס (ולכן נקרא גם פפירוס אחמס). הפפירוס, שנכתב כמדריך מעשי למחשבי חשבונות, הינו אחד מהמקורות המתמטיים המצריים החשובים ביותר. הוא מציג מאפיינים רבים של המתמטיקה המצרית – כיצד המצרים ביצעו את פעולות החשבון, אופן השימוש שלהם בשברים, ובאילו שיטות הם פתרו בעיות מעשיות שונות.

הטבלה המופיעה בפפירוס רינד (ראו בהמשך) מכילה את הפירוקים של כל השברים שהמונה שלהם הוא 2, והמכנה שלהם הוא מספר אי-זוגי בין 5 ל- 101. הטבלה אינה מכילה פירוקים של שברים שהמכנה שלהם הוא זוגי, כי הרי ברור ש- n/י2 עבור כל n זוגי, הוא שבר מצרי, כיוון שניתן לצמצם את המונה והמכנה ב- 2.

טבלת הפירוק של שברים מהצורה n/י2 מתוך הפפירוס רינד

1/795 + 1/318 + 1/30 = 2/53
1/330 + 1/30 = 2/55
1/114 + 1/38 = 2/57
1/531 + 1/236 + 1/36 = 2/59
1/610 + 1/488 + 1/244 + 1/40 = 2/61
1/126 + 1/42 = 2/63
1/195 + 1/39 = 2/65
1/536 + 1/335 + 1/40 = 2/67
1/138 + 1/46 = 2/69
1/710 + 1/568 + 1/40 = 2/71
1/365 + 1/292 + 1/219 + 1/60 = 2/73
1/150 + 1/50 = 2/75
1/308 + 1/44 = 2/77
1/790 + 1/316 + 1/237 + 1/60 = 2/79
1/162 + 1/54 = 2/81
1/790 + 1/316 + 1/237 + 1/60 = 2/83
1/255 + 1/51 = 2/85
1/174 + 1/58 = 2/87
1/890 + 1/534 + 1/356 + 1/60 = 2/89
1/130 + 1/70 = 2/91
1/186 + 1/62 = 2/93
1/570 + 1/380 + 1/60 = 2/95
1/776 + 1/679 + 1/56 = 2/97
1/198 + 1/66 = 2/99
1/606 + 1/303 + 1/202 + 1/101 = 2/101

1/6 + 1/2 = 2/3
1/15 + 1/3 = 2/5
1/28 + 1/4 = 2/7
1/18 + 1/6 = 2/9
1/66 + 1/6 = 2/11
1/104 + 1/52 + 1/8 = 2/13
1/30 + 1/10 = 2/15
1/68 + 1/51 + 1/12 = 2/17
1/114 + 1/76 + 1/12 = 2/19
1/42 + 1/14 = 2/21
1/276 + 1/12 = 2/23
1/75 + 1/15 = 2/25
1/54 + 1/18 = 2/27
1/232 + 1/174 + 1/58 + 1/24 = 2/29
1/155 + 1/124 + 1/20 = 2/31
1/66 + 1/22 = 2/33
1/42 + 1/30 = 2/35
1/296 + 1/111 + 1/24 = 2/37
1/78 + 1/26 = 2/39
1/328 + 1/246 + 1/24 = 2/41
1/301 + 1/129 + 1/86 + 1/42 = 2/43
1/90 + 1/30 = 2/45
1/470 + 1/141 + 1/30 = 2/47
1/196 + 1/28 = 2/49
1/102 + 1/34 = 2/51

השאלה שנשאלת היא איך הגיעו המצרים הקדמונים לפירוקים המופיעים בטבלה הזו? ומדוע המצרים העדיפו את הפירוקים האלה דווקא על פני פירוקים אפשריים אחרים, לדוגמא, מדוע המצרים בחרו לפרק את 2/31 על-ידי 1/155 + 1/124 + 1/20 = 2/31 ולא על-ידי 1/279 + 1/186 + 1/18 = 2/31?

מתמטיקאים רבים ניסו להציע הסברים שונים לפירוקים המופיעים בטבלה. לדוגמא, הפירוקים של כל השברים שהמכנה שלהם מתחלק ב- 3 ללא שארית (המכנה הוא כפולה של 3), התבצעו לפי הכלל הבא, שהיה ככל הנראה ידוע למצרים:

נוכיח שהנוסחה הזו נכונה – נחשב את סכום השברים המופיעים בצד ימין של השוויון ונראה שמקבלים את השבר המופיע בצד שמאל. נעשה מכנה משותף לשני השברים:

וקיבלנו את השבר 2/3k המופיע בצד שמאל.
לדוגמא עבור k = 3 נקבל את הפירוק הבא המופיע בטבלה:

היו כאלה שניסו למצוא נוסחאות כלליות יותר העומדות מאחורי כלל הפירוקים בטבלה. נוסחה אחת אפשרית עבור פירוק של שברים כלשהם מהצורה n/י2 לסכום של שברים מצריים היא:

(הוכיחו שהנוסחה הזו נכונה!)

לדוגמא עבור n = 5 נקבל

וזהו אכן הפירוק המופיע בטבלה. אולם פירוקים רבים אחרים בטבלה אינם תואמים את הכלל הזה.

עד היום לא הצליחו למצוא נוסחה אחת כללית שתסביר את כל הפירוקים בטבלה, אולם נראה שקיימים מספר עקרונות כלליים שהנחו את הסופר המצרי אשר ערך את הטבלה:

המספרים המועדפים בפירוקים הם מספרים קטנים ככל האפשר – אין אף מספר המופיע במכנה של איזשהו שבר הגדול מ- 1,000.
מספר השברים המצריים המופיעים בפירוק של כל שבר הוא קטן ככל האפשר – פירוק לשני שברים מצריים מועדף על פירוק לשלושה, ושלושה לארבעה. אין אף פירוק העולה על ארבעה שברים מצריים.
השברים המצריים המופיעים בפירוקים מופיעים בסדר יורד, כלומר המכנים הקטנים יותר מופיעים לפני הגדולים, ואין פירוק ששבר מסוים משתתף בו יותר מפעם אחת.
מספרים זוגיים מועדפים על פני מספרים אי-זוגיים, גם כאשר העדפה זו מוליכה למספרים גדולים יותר, או למספר שברים מצריים גדול יותר.

לסיכום, ניתן לומר שכל הפירוקים המופיעים בטבלה של הפפירוס רינד הם מבחינה כלשהי הפירוקים ה"פשוטים" ביותר האפשריים.

יש כאלה הטוענים שהמתמטיקה המצרית לא התקדמה מעבר לרמה הבסיסית שאליה היא הגיעה בגלל שיטת הייצוג המצרית של שברים והצורך לפרק כל שבר לסכום של שברי יחידה, שגרמו לכל חישוב להיות ארוך ומייגע. איננו יודעים מהי הסיבה לכך שהמצרים נמנעו מלהשתמש בשברים שהמונה שלהם שונה מאחד – ייתכן שהסיבה לכך נובעת מהיעדר של סימונים מתאימים או ממגבלות הקשורות במערכת המספרים המצרית ובאופן שבו הם ביצעו את פעולות הכפל והחילוק.

כיום ישנן עדיין מספר בעיות פתוחות מעניינות בתורת המספרים הקשורות בשברים מצריים, כמו למשל הבעיה הבאה: האם ניתן להציג כל שבר מהצורה n/י4 כסכום של שלושה שברים מצריים, כלומר בצורה

(אתם מוזמנים לנסות לפצח אותה, אבל אל תשקיעו בזה יותר מדי זמן!)

מידע נוסף על שברים מצריים ובעיות פתוחות בנושא תוכלו למצוא באתר:http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt

לפרקים נוספים בנושא:
מערכת המספרים
המספרים הטבעיים
שברים
המספר אפס
המספרים הרציונליים
גילוי המספרים האי-רציונליים