שלום עשת נולד בשם פריץ אייזנשטטר בשנת 1914 באוסטריה. גדל במשפחה בעלת מסורת צבאית, למד באקדמיה הצבאית האוסטרית בווינה ובבית הספר הטכני הגבוה בווינה והוסמך כמהנדס. שירת כקצין בצבא האוסטרי.
עלה לארץ ישראל בשנת 1938. שנה לאחר מכן הצטרף לארגון "ההגנה". היה חניך בקורס הקצינים הראשון של "ההגנה".
במלחמת העולם השנייה התנדב לצבא הבריטי. בשנת 1942 שירת בחזית המדבר המערבי. בשנת 1943 עבר קורס קצינים במחנה צריפין. בשנת 1944, עם כינון הבריגדה היהודית הצטרף אליה בדרגת סרן, ובמסגרתה שירת בחזית איטליה, ולאחר תום המלחמה הגיע איתה לאוסטריה ארץ הולדתו.
לאחר פרוק הבריגדה, חזר ארצה והיה ממקימי המחלקה לתפקידי מטה של ה"הגנה", עוזר לראש אגף התכנון של ה"הגנה".
במהלך מלחמת העצמאות, במבצע יבוסי של חטיבת הראל, שנערך בירושלים בין ה22 באפריל ל1 במאי 1948, שנועד לשחרר חלקים מן העיר ולהקל על המצור, נתמנה להיות ראש המטה של המבצע, כאיש צבא מקצועי שיאזן את מפקדי הפלמ"ח מחטיבת הראל שהשתתפו במבצע.
ביולי 1948 נתמנה ליועץ צבאי של ראש הממשלה ושר הביטחון דוד בן-גוריון, והיה לאחד ממקורביו בעל השפעה ניכרת בכל הקשור בארגון הצבא ובהכנת תוכניות מבצע.
לאחר תום מלחמת העצמאות המשיך לשרת בצה"ל. היה ראש מחלקת התכנון במטכ"ל. ב-1952, כאשר פרש מתפקידו, הוא נתבקש על ידי בן-גוריון להגיש לו הערכה מפורטת על היכולת של צה"ל לעמוד במתארי המלחמה השונים מול מתקפה של צבאות ערב. במסקנותיו תרם לגיבוש הדוקטרינה ההתקפית של צה"ל.
פרש משורות צה"ל בשנת 1957 בדרגת אלוף משנה, והיה ליועץ התעשייתי של חברת העובדים.
נפטר בראשית 1967. הניח אשה ובת.
