עמוד הבית > מתמטיקה וסטטיסטיקה
מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכית


תקציר
מהי תורת המשחקים? תורת המשחקים היא תיאוריה המשתמשת בכלים מתמטיים שמטרתה לנתח אינטראקציות בין גורמים, כאשר לכל אחד מהגורמים יש אינטרסים משלו.



תורת המשחקים
מחבר: מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכית. צוות הספריה הוירטואלית


נתחיל במה שתורת המשחקים אינה עוסקת בו.
תורת המשחקים לא דנה בכדורסל או בכדורגל ולא במשחקי כדור אחרים. בתורת המשחקים אין תובנות מיוחדות שיכולות לעזור בשחמט או בפוקר.

תורת המשחקים היא תיאוריה המשתמשת בכלים מתמטיים שמטרתה לנתח אינטראקציות בין גורמים אשר לכל אחד אינטרסים משלו. גורמים אלה יכולים להיות אנשים פרטיים, חברות כלכליות, מפלגות, מדינות או מינים שונים (עכבישים, דבורים או עכברים) וכדומה.

תורת המשחקים מתחלקת לשני תחומים: התורה השיתופית והתורה הלא שיתופית. התורה השיתופית מטפלת בקבוצות של שחקנים. לכל קבוצה מיוחס ערך מספרי שמבטא את ערכה/שווייה/עוצמתה של הקבוצה (למשל, כוחה של קבוצה של מפלגות בפרלמנט, או כח הייצור של קבוצה של פירמות וכיו"ב). עניינו המרכזי של תחום זה הוא כיצד לחלק את העוגה הגדולה (זו המיוצרת ע"י קבוצת כל השחקנים) באופן "הוגן".

לתורה הלא שיתופית חשיבות גדולה יותר ואותה נתאר כאן באופן מפורט יותר.

תורת המשחקים הלא שיתופית

משחק מורכב ממספר שחקנים אשר בפני כל אחד מהם פתוחה קבוצה של פעולות אפשריות. כאשר כל אחד מהשחקנים בוחר פעולה, מקבל כל אחד מהם תשלום (התלוי לא רק בפעולה שעשה הוא עצמו, אלא גם בפעולות שעשו כל האחרים).

במשחק זוג או פרט, למשל, יש שני שחקנים, נאמר הוא והיא. לכל אחד מהם שתי פעולות אפשריות: 1 ו- 2. לאחר ששניהם בוחרים מספר (כאמור, 1 או 2) מחברים את התוצאות. אם הסכום הוא זוגי, היא זוכה, ואם הסכום הוא אי-זוגי, הוא זוכה. נשים לב שתועלתו של שחקן תלויה לא רק בפעולה שהוא בחר אלא גם בפעולה שיריבו (יריבתו) בחר/ה.

משחק עם שני שחקנים נקרא משחק סכום-אפס כאשר זכייתו של אחד השחקנים בסכום מסוים גוררת את הפסדו של השני באותו סכום.
כדי לתאר משחק שאיננו סכום-אפס, נדמיין שני חשודים בשוד בנק שנתפסו במהלך מרדף משטרתי. למשטרה אין עדויות שיכולות להפליל את החשודים. מה שברור הוא שהחשודים נסעו ברכב גנוב, עבירה שהעונש עליה הוא שנת מאסר. המשטרה מושיבה את החשודים בחדרים נפרדים. בפני כל אחד מהחשודים עומדות שתי פעולות אפשריות: להודות בשוד או להכחיש.
נתאר את התוצאות האפשריות בטבלה:

חשוד ב'

.

מכחיש

מודה

.

חשוד א'

5 שנים בכלא

חופשי

3 שנים בכלא

3 שנים בכלא

מודה

שנה בכלא

שנה בכלא

חופשי

5 שנים בכלא

מכחיש

אם שני החשודים מכחישים, אזי ניתן להרשיעם רק על גניבת רכב (שנה בכלא). אם חשוד א' מכחיש וחשוד ב' מודה, אזי חשוד ב' מוכרז כעד מדינה והוא יוצא לחופשי, בעוד שחשוד א' מקבל עונש כבד של 5 שנים בכלא. אם שניהם מודים שניהם נאשמים בשוד אבל מקבלים עונש קל יחסית, המתחשב בכך שהם שיתפו פעולה עם המשטרה (3 שנים בכלא).

שוב נשים לב שהעונש שמקבל כל אחד מהחשודים (שחקנים) תלוי לא רק בפעולתו שלו (מודה או מכחיש) אלא גם בזו של השחקן השני. משחק זה נקרא דילמת האסירים.

בדילמת האסירים כדאי לכל אחד מהשחקנים להודות. הסיבה היא שלכל פעולה של יריבו, העונש הכרוך בהודאה קטן יותר מזה הכרוך בהכחשה. לדוגמא: אם חשוד ב' מודה, אזי הכחשה של חשוד א' גוררת 5 שנים בכלא, ואילו הודאה שלו במעשה - 3 שנים; ואם חשוד ב' מכחיש, הכחשה של חשוד א' כרוכה בשנה בכלא ואילו הודאה מבטיחה יציאה לחופשי. כלומר, הודאה תמיד יותר כדאית מהכחשה. במקרה כזה נאמר שהודאה היא פעולה השולטת על הכחשה. אבל אם הודאה כדאית לשניהם, התוצאה תהיה שלוש שנים בכלא לכל אחד, בעוד שאילו היו מכחישים שניהם, התוצאה היתה רק שנה אחת בכלא לכל אחד. נוצר מצב שבו כל אחד מהשחקנים עושה את הטוב ביותר בעבור עצמו, אבל התוצאה אינה התוצאה האפשרית הטובה ביותר לשניהם.

תופעה דומה מתרחשת בתחומים רבים בחיים. למשל, בים הפתוח. ספינות דייג יוצאות לים הפתוח על מנת לדוג לווייתנים. נניח לשם פשטות שכל ספינה יכולה לדוג מעט או הרבה (שתי פעולות אפשריות). מובן שכל ספינה רוצה לדוג כמה שיותר, אבל דייג-יתר יביא לדלדול אוכלוסיית הלווייתנים, דבר שיפגע בסופו של דבר בכל הדייגים. גם כאן, כאשר כל דייג עושה את הטוב ביותר בעבור עצמו, התוצאה גרועה לכלל הדייגים, כולל לו עצמו.

המושג המרכזי שבאמצעותו מנסה תורת המשחקים לנבא את תוצאות המשחקים הוא שיווי-משקל נאש, הנקרא על שמו של John Nash שזכה על כך בפרס נובל לכלכלה ב-1994. כאמור, כל שחקן מחליט על הפעולה שבה ינקוט. לצירוף של כמה פעולות (פעולה אחת של כל שחקן), נקרא שיווי משקל נאש, אם מתקיימת בו התכונה הבאה: אף אחד מהשחקנים לא ירוויח יותר אם ישנה את דעתו ויבחר בפעולה אחרת (בעוד האחרים אינם משנים את דעתם).

נשים לב שבדילמת האסירים הצירוף שבו חשוד א' מודה וחשוד ב' מכחיש, איננו שיווי משקל. כי אם חשוד ב' יחליף את בחירתו מ'להכחיש' ל'להודות' הוא יוריד את מספר השנים בכלא מ- 5 ל- 3, ובכך ירוויח. אבל הצירוף שבו שני החשודים מודים הוא שיווי משקל. כל סטייה חד צדדית (חשוב להדגיש, חד צדדית) של חשוד אחד לא תשפר את מצבו.

לתורת המשחקים שימושים בתחומים מגוונים כגון: כלכלה, ביולוגיה, מדעי המדינה, יחסים בינלאומיים, מדעי המחשב ועוד. התיאוריה הכלכלית משתמשת באופן נרחב בתורת המשחקים. לצורך כך מתארים משחקים שבהם השחקנים הם חברות כלכליות (לדוגמא, מלחמת מחירים), או מדינות (מלחמת מכסים), או צרכנים (האם לרכוש PC או Apple), או מוכר וקונה (בשוק המכוניות המשומשות) או מעביד ועובד, או משתתפים במכרז ועוד.

בביולוגיה ניתן להשתמש בתורת המשחקים כאשר מנתחים מלחמת הישרדות של טיפוסים שונים מאותו מין או בין מינים שונים. במדע המדינה השחקנים עשויים להיות בוחרים במערכת בחירות או מפלגות הנאבקות זו בזו, ביחסים בינלאומיים השחקנים יכולים להיות מדינות הנמצאות בעימותים מסוגים שונים וכיוצא באלה.

ביבליוגרפיה:
כותר: תורת המשחקים
מחבר: מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכית. צוות הספריה הוירטואלית
בעלי זכויות נוספים בפריט זה: מטח : המרכז לטכנולוגיה חינוכית
הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית