עמוד הבית > מדעים > פיסיקה ומבנה החומר [כימיה]
גליליאו : כתב עת למדע ומחשבה


תקציר
תורת היחסות של איינשטיין, אשר לפני כמאה שנה החליפה את המכניקה הניוטונית הקלאסית, חוללה מהפכה של ממש בתפיסתנו את חוקי היקום. מסקנותיה לגבי המרחב והזמן הן כה מפתיעות, שהיא אילצה אותנו לשנות את התפיסות הבסיסיות שלנו, לא רק לגבי הטבע עצמו, אלא אף לגבי הכרתנו אנו ויכולתנו להבין את העולם. המאמר סוקר מסקנות מדהימות אלו, מנסה להבין כיצד הן נובעות מעקרונות היסוד של תורת היחסות הפרטית, ומה ההשלכות המעשיות שלהן.



מרחב וזמן בתורת היחסות הפרטית
מחבר: מריוס כהן


תורת היחסות של איינשטיין, אשר לפני כמאה שנה החליפה את המכניקה הניוטונית הקלאסית, חוללה מהפכה של ממש בתפיסתנו את חוקי היקום. מסקנותיה לגבי המרחב והזמן הן כה מפתיעות, שהיא אילצה אותנו לשנות את התפיסות הבסיסיות שלנו, לא רק לגבי הטבע עצמו, אלא אף לגבי הכרתנו אנו ויכולתנו להבין את העולם

בשנת 1687 ראה אור ספרו המפורסם של אייזיק ניוטון (Newton) "העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע" (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), אשר, בהמשך לעבודתו של גליליאו גליליי (Galilei) במכאניקה, יצר את הבסיס לפיזיקה הקלאסית. המכאניקה הניוטונית שלטה במדעי-הטבע ללא עוררין במשך למעלה מ-200 שנה, וכוחה הגדול היה בכך שסיפקה מערכת פשוטה יחסית של חוקים, אשר הסבירו מגוון רחב של תופעות, ואשר ציירו תמונת עולם מתקבלת על הדעת, שלפיה המרחב והזמן הם מוחלטים, ואילו מהירותו של גוף היא תמיד יחסית למערכת שבה מתבצעת המדידה.

מאז פרסומו של הספר ועד שלהי המאה ה-19 ידע מדע הפיזיקה פריחה שלא היתה כדוגמתה בהיסטוריה האנושית שקדמה לה, כששיאה היה בפרסומן של משוואות מקסוול, שתמצתו את חוקי החשמל והמגנטיות בפשטות ובאלגנטיות, ואשר נוסחו על-ידי הפיזיקאי הבריטי ג'יימס קלרק מקסוול (Maxwell). על-סמך משוואות אלו, אשר את גרסתן המוגמרת פרסם מקסוול בשנת 1873 בספרו "חיבור על חשמל ומגנטיות" (A Treatise on Electricity and Magnetism), ניבא הפיזיקאי את קיומם של גלי רדיו, ואף הסיק מהן שהאור עצמו אינו אלא גל אלקטרומגנטי.

פריחה זו של הפיזיקה הקלאסית הביאה את הפיזיקאי הבריטי הנודע, הלורד קלווין (Kelvin), להצהיר בשנת 1900, שמדע הפיזיקה קרוב לשלמות, ונותרו בו רק עוד שתי "עננות", שאותן יש להסביר כדי להשלים את התמונה. שתי "עננות" אלו הובילו עוד בימיו של קלווין לטלטלה בפיזיקה הקלאסית, ובישרו את לידתה של הפיזיקה המודרנית. אחת מ"עננות" אלו היתה הספקטרום הלא מובן של קרינת גוף שחור, שהביא בסופו של דבר לעלייתה של תורת הקוונטים, וה"עננה" השנייה היתה התוצאות המוזרות שהניב ניסוי מדידת מהירות-האור של האמריקאים מייקלסון (Michelson) ומורלי (Morley) בשנת 1887, ואשר רק שינוי מהותי בתפישתנו את המרחב והזמן במסגרת תורת-היחסות סיפק את הבסיס להבנתן.

בעיות עם מהירות האור

ניסוי מדידת מהירות-האור של מייקלסון ומורלי נערך בשל קושי עקרוני שעלה ממשוואות מקסוול, וזו העובדה שמהירות האור הופיעה בהן כקבוע אוניברסלי (שסומן באות c), ואילו חוקי התנועה הקלאסיים, שנוסחו בשעתו על-ידי גליליאו, רואים במהירות גודל יחסי (כך, למשל, מהירותו של אדם הצועד בתוך קרון של רכבת נוסעת תהיה גבוהה יותר ביחס לצופה על הרציף מאשר ביחס לנוסעים האחרים ברכבת). ניסויים שונים אכן הראו שמשוואות מקסוול תקפות בכל מערך ניסויי, ללא תלות במהירות תנועתו של מקור האור, ומכאן היתה קצרה הדרך להסיק, שהקבוע המופיע במשוואות אלו מציין את מהירות האור ביחס לאיזשהו "חלל מוחלט", מה שתאם את תפישתו של ניוטון לגבי קיומם של חלל וזמן מוחלטים, אשר משמשים במה להתרחשויות שבעולם.

מכיוון שהסתבר שהאור הוא גל אלקטרומגנטי, ומאחר שכל סוגי הגלים שהיו מוכרים במאה ה-19, כדוגמת גלי מים או גלי-קול, נזקקים לתווך כלשהו כדי להתפשט, הועלתה ההשערה, שהחלל מלא באיזשהו חומר בלתי-נראה, האֶתר (מושג שאריסטו כינה בו את החומר הממלא את המרחב הריק), ושהגודל c המופיע במשוואות מקסוול מבטא את מהירותו של האור בתווך זה. אולם ניסויים שונים, שנעשו כדי לגלות את אופי תנועתו של כדור-הארץ ביחס לאתר, הביאו לתוצאות סותרות, כשהמפורסם שבהם הוא הניסוי של מייקלסון ומורלי. ניסוי זה, שבו נמדד ההפרש בין מהירות האור בכיוון תנועת כדור-הארץ לבין מהירותו בניצב לתנועה זו, לא גילה שום השפעה של תנועת כדור-הארץ על גודלה של מהירות האור. אם כן, גודלה של מהירות זו, כפי שמדד אותה מייקלסון עוד בשנת 1879, הינו קבוע בכל כיוון: קרוב ל-300,000 ק"מ בשנייה (במהירות זו לוקח לאור להגיע מכדור-הארץ לירח קצת יותר משנייה). אם האֶתר אכן קיים ומשמש תווך לתנועת האור, תוצאותיו של ניסוי זה מחייבות את המסקנה, שהאתר נגרר במלואו על-ידי כדור-הארץ בתנועתו מסביב לשמש. אלא שניסויים אחרים שנערכו בהקשר זה הביאו למסקנות סותרות, כגון, שאם האתר קיים הריהו שרוי במנוחה ביחס לשמש, או אפילו, כפי שהראו ניסוייו של הפיזיקאי הצרפתי פיזו (Fizeau), שהוא נגרר במידה שונה על-ידי חומרים שונים. מאחר שהמסקנות מכל הניסויים הללו אינן מתיישבות זו עם זו, נאלצו הפיזיקאים לוותר על הנחת קיומו של האתר, ואף להסכין עם כך, שמהירות-האור אינה תלויה במהירות תנועתו של הצופה.

עובדה זו, שמהירות-האור, בניגוד לאינטואיציות הבסיסיות שלנו לגבי מרחב, זמן ותנועה, אינה תלויה לא במהירות תנועתו של מקור האור ולא במהירות התנועה של הצופה, מעוררת קושי גדול במסגרת המכאניקה הניוטונית: נניח, למשל, שחללית מהירה מתרחקת מאתנו במהירות הקרובה מאוד למהירות האור. אם פנס נדלק בחזית החללית, באיזו מהירות יתרחק ממנה האור היוצא מהפנס? מאחר שמהירות-האור אינה תלויה בתנועתו של הצופה, יטען טייס-החללית שהאור מתרחק ממנו במהירות של כ-300,000 ק"מ בשנייה, וכל ניסוי שיעשה אכן יאשר את טענתו. אולם מאחר שמהירות-האור אף אינה תלויה בתנועתו של מקור-האור, הרי שגם אנו, שנשארנו מאחור על כדור-הארץ, נטען שהאור הנפלט מפנס החללית נע במהירות זו, ועל-כן מתרחק מהחללית באיטיות משוועת

הסתירה הלא מובנת בין תורתו של ניוטון, שבה מהירויות הן גדלים יחסיים, לבין זו של מקסוול, שבה לאור מהירות מוחלטת, הביאה פיזיקאים ומתמטיקאים כפיצג'רלד (Fitzgerald), לורנץ (Lorentz) ופואנקרה (Poincare) להציע נוסחאות חדשות לתיאור תנועתם של גופים, נוסחאות אשר מיישבות סתירה זו על אף היותם אנטי אינטואיטיביים במהותם. ואולם את הפתרון המלא והאלגנטי לבעיה נתן איינשטיין במסגרת תורת היחסות הפרטית, שאותה פרסם ב-1905. ההבחנה, אגב, בין תורת היחסות הפרטית, שלפעמים אף נקראת תורת-היחסות המצומצמת, לבין תורת-היחסות הכללית, היא בכך, שהראשונה עוסקת אך ורק במערכות שאינן מאיצות, והיא אינה לוקחת בחשבון את השפעות כוח הכבידה.

קץ עידן התמימות

איינשטיין כפי הנראה (על פי עדותו הוא) לא ידע על ניסוי מדידת מהירות-האור של מייקלסון ומורלי, אולם הסתירה בין הניבויים השונים של שתי התורות הפיזיקליות החשובות ביותר באותה תקופה הביאה אותו למסקנה, שרק דבר אחד יכול להסביר אותה: התנהגות המרחב והזמן שונה מזו שאנו מניחים באופן אינטואיטיבי, כשביטויו של שוני זה ניתן למדידה במהירויות גבוהות בלבד, כאלו שמתקרבות למהירות האור. בצעד נועז וחסר תקדים החליט איינשטיין לוותר על מוחלטות המרחב והזמן, והניח במקומן את מוחלטות מהירות-האור כאקסיומה פיזיקלית. ב-30 ביוני 1905 ראה אור מאמרו המפורסם: "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים", שהיווה את הבסיס לתורת היחסות הפרטית שלו. תורה חדשה ומהפכנית זו (שהושוותה לא פעם למהפכה הקופרניקנית מבחינת חשיבותה) התבססה על שני עקרונות:

א. ניסוחם של חוקי הפיזיקה זהה בכל המערכות הלא מאיצות.
ב. מהירות האור היא גודל קבוע, שאינו תלוי לא בתנועת מקור-האור ולא בתנועת הצופה.

משני עקרונות אלה נבעו מסקנות כל-כך מוזרות לגבי תכונות המרחב והזמן, שתורתו של איינשטיין, אף שמבחינה תיאורטית היתה ללא רבב, לא אומצה מיד כמחליפתה של המכאניקה הניוטונית, ועברו מספר שנים עד שהפכה למקובלת על מרבית הפיזיקאים בעולם (במשך השנים היו גם פיזיקאים שניסו למצוא תחליף אינטואיטיבי יותר לתורת היחסות של איינשטיין, אולם עד כה ללא הצלחה). ואלו אחדות מהמסקנות המדהימות הנובעות משני העקרונות של איינשטיין:

(*) יחסיות הבו-זמניות (או יחסיות הסימולטניות) - גודלו של מרווח הזמן בין שני אירועים במערכת כלשהי תלוי במהירותה של המערכת ביחס לצופה, ובפרט: אירועים הקורים בו-זמנית במערכת אחת יכולים לקרות בזמנים שונים במערכת אחרת הנמצאת בתנועה ביחס אליה.

(*) התכווצות האורך - אורכו של גוף איננו גודל מוחלט, אלא תלוי בתנועתו ביחס לצופה. ככל שמהירות הגוף גבוהה יותר כן קטן אורכו במערכת הצופה. משום כך גם מתקצרים מרחקים בכל מערכת שהיא עבור צופה שנע ביחס אליה.

(*) התרחבות הזמן - קצב מעבר הזמן במערכת נתונה אף הוא איננו גודל מוחלט, אלא תלוי בתנועת המערכת ביחס לצופה. ככל שמהירות המערכת (למשל חללית) גבוהה יותר, כן יעבור בה הזמן בקצב איטי יותר יחסית לזמן במערכת הצופה.

(*) חוק חיבור המהירויות הקלאסי, הפשוט והאינטואיטיבי (שלפיו מהירותו של גוף ביחס לצופה מסוים מתקבלת מחיבור מהירות הגוף במערכת נתונה למהירות המערכת ביחס לצופה) איננו מדויק, וככל שמהירות הגופים גבוהה יותר, כן גדל אי-דיוק זה. חוק זה יש להחליף בחוק אחר,שעל אף היותו פחות אינטואיטיבי, הוא מתקיים בכל המהירויות.

(*) מידת ההתמדה (כלומר - ה"התנגדות" לשינוי במהירותו) של גוף איננה פונקציה של מאסת הגוף בלבד (החוק השני של ניוטון) אלא תלויה גם במהירות הגוף ביחס לצופה.

(*) מהירות האור היא מהירות גבולית בטבע, שלא ניתן לעבור אותה, וזאת לא בשל מגבלות טכנולוגיות, אלא משום שתכונות המרחב והזמן אינן מאפשרות זאת עקרונית.

למעשה, כל מה שקשור להבנתנו את מושגי המרחב, הזמן והתנועה, שנחשבו לנכסי צאן ברזל של המכאניקה הניוטונית, ואשר כל-כך תאמו את האינטואיציות הבסיסיות שלנו, עבר תמורה קיצונית. ב-30 ביוני 1905 איבדו חוקי היקום את תמימותם.

הבה נסקור מסקנות מדהימות אלו אחת לאחת, וננסה להבין כיצד הן נובעות מעקרונות היסוד של תורת היחסות הפרטית, ומה ההשלכות המעשיות שלהן.

יחסיות הבו-זמניות

אחת המסקנות המפתיעות ביותר בתורת היחסות היא העובדה שבו-הזמניות של שני אירועים איננה מוחלטת אלא תלויה בתנועת הצופה. במילים אחרות, אם במערכת מסוימת שני אירועים שונים יתרחשו באותו הזמן במקומות שונים במרחב (והמיקום השונה במרחב הוא הכרחי, אחרת מדובר באותו אירוע), הרי שלגבי צופה הנמצא בתנועה ביחס למערכת זו, שני אירועים אלו עשויים להתרחש בזמנים שונים!

כדי לראות מדוע המסקנה הוו מתחייבת מעקרון קביעות מהירות-האור נבחן את הניסוי המחשבתי הבא (איינשטיין אהב לערוך ניסויים מחשבתיים, שהובילו לחלק גדול מתגליותיו): נתאר לנו קרון רכבת הנע על מסילה במהירות גבוהה. נוסע העומד במרכז הקרון מדליק פנס דו-צדי, ושתי קרני אור יוצאות ממנו בדיוק באותו הזמן, האחת בדרכה לדופן הקדמית של הקרון, והשנייה בדרכה לדופן האחורית. מאחר שמהירות-האור אינה תלויה בתנועת הצופה, הרי שמבחינתו של הנוסע יגיע האור לשתי דפנות הקרון בעת ובעונה אחת. לעומת זאת, צופה על הרציף יתאר מצב שונה לחלוטין: מרגע שהפנס מופעל ועד לרגע שבו מגיעות קרני-האור ליעדיהן מספיקה הדופן הקדמית של הקרון להתרחק מהמקום שבו יצא האור לדרכו, ואילו הדופן האחורית מספיקה להתקרב אליו. מכיוון שגם הצופה על הרציף יטען שמהירות האור שווה בשני הכיוונים (שהרי היא אינה תלויה בתנועת מקור-האור), הרי שלדידו קרן האור הנעה אל קדמת הקרון תגיע ליעדה רק זמן מה לאחר שהקרן הנעה בכיוון הנגדי הגיעה ליעדה היא. אם כן, שני אירועים אלו - פגיעת האור בקדמת הקרון ופגיעתו בירכתיו - הם בו-זמניים במערכת הקרון, אך לא במערכת הרציף (חשוב לציין, לצורך הבהרה, שהבדל הזמנים בין שני-האירועים במערכת הרציף איננו בבחינת "אשליה אופטית" הנובעת מהעובדה שלמידע לגבי כל אחד מהאירועים לוקח זמן שונה להגיע לצופה שעל הרציף, אלא מדובר בהבדל זמנים אמיתי, ללא קשר לשאלה מתי המידע הזה הגיע אליו).

מובן שיחסיות הבו-זמניות של אירועים איננה חלה על קרונות רכבת בלבד, והיא תקפה לגבי כל שני אירועים שהם. כך, למשל, אם שני תינוקות נולדים במקומות שונים על כדור-הארץ באותו הרגע (והרישום בכרטיסיות הרפואיות מוכיח זאת), הרי שנוסעיה של חללית מהירה שישקיפו על הנעשה בכוכב הלכת שלנו יטענו שהיה הפרש זמנים בין שתי הלידות, וככל שמהירות החללית גדולה יותר או שהמרחק בין המקומות השונים גדול יותר, כך גם גדול הפרש הזמנים בין שני האירועים במערכת זו.

יחסיות האורך והמרחק

כדי להבין מדוע אורכו של גוף תלוי במהירות תנועתו, ננסה להבין מה פירוש המושג אורך: אם אני רוצה למדוד, למשל, את אורכו של קרון, אני יכול למדוד (באמצעי כלשהו) את מיקומו של כל אחד מקצותיו ביחס אלי, ולהשתמש בנתונים אלה לחישוב אורכו. כך, למשל, אם גם אני ממוקם על המסילה, יתקבל אורכו של הקרון מחיסור פשוט של המרחקים שמדדתי (אם לא, אצטרך לקחת בחשבון גם את הזווית שבה אני רואה את קצוות הקרון, אך פרט זה איננו משנה לצורך ענייננו). כאשר הקרון נמצא במנוחה ביחס אלי אין שום חשיבות לזמנים שבהם אני מבצע את המדידות, אולם אם הקרון נמצא בתנועה, אהיה חייב לוודא ששתי המדידות מתבצעות בו-זמנית, אחרת אקבל תוצאות שגויות. אלא שכבר ראינו שמושג הבו-זמניות הוא מושג יחסי, שתלוי במהירות התנועה של הגוף ביחס לצופה, ועל-כן יש לצפות שגם מדידת האורך תושפע מעובדה זו.

אם כן, נדמיין לעצמנו שוב אותו קרון, שבו נוסע העומד במרכזו מדליק פנס דו-צדי. הפעם נניח שבכל אחד מקצות הקרון מותקן מנוע אשר מופעל באמצעות תא פוטואלקטרי, והקרון מתחיל את תנועתו ממנוחה, כשהוא מגדיל את מהירותו בהדרגה בזכות הפנס הדולק. מבחינת הנוסע העומד במרכז הקרון, שני המנועים יופעלו בעת-ובעונה אחת על-ידי הפוטונים (חלקיקי אור) היוצאים יחדיו מהפנס הדו-צדי ופוגעים בו-זמנית בתאים הפוטואלקטריים, וכתוצאה מכך הקרון כולו יתחיל לנוע כמקשה אחת. אלא שמבחינת הצופה על הרציף, מיד לאחר שהקרון מתחיל את תנועתו יקדימו פוטונים היוצאים מהפנס ויגיעו לתא הפוטואלקטרי שבירכתי הקרון לפני שמקביליהם, שיצאו לדרך בדיוק באותו הזמן, יגיעו לזה שבקדמתו, כפי שנוכחנו קודם. כך יתחיל קצהו האחורי של הקרון להאיץ לפני קצהו הקדמי, וכתוצאה מכך יתקצר מעט אורך הקרון (מכאן נובע שגם מושג הקשיחות הוא יחסי, אולם על-כך לא נרחיב כאן). ככל שתגדל מהירות הקרון כן תקדים פעולת המנוע האחורי את זה הקדמי, ואורכו של הקרון ימשיך ויתקצר מנקודת מבטו של הצופה על הרציף. כמובן שאין צורך במנועים בקצוות הקרון, או בקצותיו של כל גוף נע אחר, כדי שתופעת התכווצות האורך תתרחש. מעצם העובדה שעבור נוסעי הרכבת הקרון כולו, ובכלל זה קצותיו, מאיץ בעת ובעונה אחת, נובע שעבור צופה על הרציף קצהו האחורי של הקרון מתחיל להאיץ לפני קצהו הקדמי, מה שמביא בהכרח להתקצרות הקרון (או גוף אחר כלשהו שנמצא בתנועה ביחס לצופה). מובן שאין צורך שהצופה על הרציף יצפה בקרון בעת שזה מאיץ, ותופעת התכווצות האורך תבוא לידי ביטוי גם אם הצופה יבחין בקרון רק בתום שלב ההאצה, כאשר מהירותו כבר קבועה ביחס לרציף.

מאחר שבאותה מידה ניתן לראות בקרון את המערכת הנייחת, ואת הרציף כנע ביחס אליו, הרי שעבור צופים בקרון, דווקא האורכים והמרחקים על הרציף הם אלה שמתקצרים. עבור נוסעיה של חללית מהירה המרחקים על כדור הארץ או בחלל יהיו קצרים יותר ממרחקים אלה כפי שהם נמדדים על-ידינו, וככל שמהירותה של החללית גבוהה יותר, כן קצרים יותר מרחקים אלה בעיני נוסעיה (ובמקביל כן קצר יותר אורכה של החללית בעיני הצופים שעל כדור-הארץ). עובדה זו מעלה את השאלה אם אין מדובר באשליה אופטית, שהרי כל מערכת טוענת שדווקא האורכים במערכת השנייה הם אלה שמתקצרים. והתשובה היא: לא, אין זו אשליה. עד כמה שקשה לנו לקבל עובדה זו, שמנוגדת להתנסותנו היומיומית, אורך איננו גודל מוחלט אלא יחסי, ותופעת התכווצות האורך מתחייבת מעקרון הקביעות של מהירות האור.

התרחבות הזמן

נוכחנו שעבור נוסעי הקרון המרחקים על הרציף מתקצרים. מכאן, שאם צופה על הרציף יטען שלקרון לקח פרק זמן מסוים לעבור את הרציף מקצה לקצה, הרי שעבור נוסעי הקרון יהיה פרק הזמן הדרוש לכך קצר יותר, שכן אורכו של הרציף קצר יותר עבורם. נניח, לשם דוגמה, שכאשר הקרון נכנס לרציף מורים הן השעון שבחזיתו והן השעון הממוקם בכניסה לרציף על אותה שעה. גם הצופים על הרציף וגם נוסעי הרכבת יסכימו על מהירות נסיעתו של הקרון, אולם הם לא יסכימו על אורכו של הרציף. כתוצאה מכך, ברגע עזיבתו את הרציף, יורה השעון שבחזית הקרון על שעה מוקדמת יותר מזו שיורה השעון הממוקם ביציאה מהרציף. מאחר שאין שום ייחודיות בעובדה שהניסוי המחשבתי עוסק בקרון וברציף דווקא, הרי שקצב מעבר הזמן במערכת כלשהי נמוך יותר ביחס לצופה במערכת אחרת, שנמצאת בתנועה יחסית אליה.

באותה מידה, אם שעונו של צופה על הרציף והשעון שעל חזית הקרון יורו אותה השעה ברגע שקדמת הקרון תחלוף על פניו, הרי שכאשר יגיעו אליו ירכתי הקרון, יפגר שעונו של הצופה אחרי השעון הממוקם בירכתיים, וזאת משום שעבור הצופה שעל הרציף קרון זה קצר יותר מאשר עבור הנוסעים בו, ועל-כן, מנקודת מבטו של צופה זה, ייקח לקרון פחות זמן לחלוף על-פניו. אם כן, גם תופעת התרחבות הזמן, בדומה לתופעת התכווצות האורך, היא יחסית. הצופה בכל מערכת יטען שהזמן במערכת האחרת, הנעה ביחס אליו, עובר לאט יותר. גם תופעה זו, בדומה לתופעות האחרות שתוארו, אינה אשליה אופטית (ואף אינה תלויה בטכנולוגיה המשמשת למדידת הזמן) - בניסויים התברר שזמן החיים של חלקיקים מתארך כאשר הם נעים במהירות יחסותית (מהירות הקרובה למהירות האור). מנקודת מבטו של החלקיק אין אמנם שום שינוי בזמן החיים שלו עצמו, אולם עבור צופים במערכת המעבדה הזמן של החלקיק עובר לאט יותר, ועל- כן שעוני המעבדה ימדדו זמן ארוך יותר עד התפרקותו.

כתוצאה מתופעת התרחבות הזמן מתקבל פרדוקס התאומים המפורסם: נניח שזוג תאומים, האחד אסטרונאוט והשני אסטרונום, נפרדים בהיותם עדיין צעירים, כשהתאום האסטרונאוט, שוחר ההרפתקאות, יוצא לשוטט ברחבי הגלקסיה בחללית מהירה, בעוד אחיו התאום נשאר על כדור-הארץ. כאשר סופסוף שב האסטרונאוט ממסעו ומתאחד עם אחיו, הוא מגלה, שלמרות שטיסתו בחלל לא ארכה עבורו יותר ממספר שנים, הרי שעל אחיו התאום עברו בינתיים עשרות שנים, והוא הספיק כבר להקים משפחה מרובת ילדים ונכדים (כשהפרש השנים בין השניים תלוי במהירות החללית ובמשך המסע). בניגוד לדעה העממית, לא העובדה שכל אחד מהם התבגר במידה שונה מהווה את עצם הפרדוקס, שכן מנקודת מבטו של האסטרונום הזמן בחללית המהירה אכן עבר לאט יותר מאשר על-פני כדור-הארץ, אלא העובדה, שניתן היה להניח, מנקודת מבטו של האסטרונאוט, שהוא עצמו נשאר במקום, ואילו אחיו התאום הוא זה שטס לחלל וחזר אחרי כך וכך שנים. מה, אם כן, שובר את הסימטריה לכאורה, וגורם דווקא לאסטרונום להתבגר יותרו ניתן להראות (ואפילו במסגרת תורת היחסות הפרטית, למרות ששינוי כיוון הטיסה הינו בבחינת שינוי מהירות), ששבירת הסימטריה מתרחשת בשלב שבו החללית משנה את כיוונה, כשבמהלכו מואץ קצב מעבר הזמן בכדור-הארץ ביחס למערכת החללית.

חיבור מהירויות

אנו יודעים שמהירותו של אדם הצועד בתוך קרון של רכבת נוסעת גבוהה יותר ביחס לצופה על הרציף מאשר ביחס לנוסעים האחרים ברכבת. למעשה, מהירות זו תהיה, על-פי חוקי התנועה הקלאסיים, סכום שתי המהירויות, זו של הרכבת ביחס לרציף וזו של האדם הצועד ביחס לקרון הרכבת. כל עוד מהירויות אלו קטנות באופן משמעותי ממהירות האור, יאשרו זאת גם המדידות במכשור המדויק ביותר שעומד לרשותנו. אולם אנו יודעים כבר שעיקרון זה איננו יכול לחול על מהירויות יחסותיות - אורו של הפנס שבקרון אינו מתוסף למהירותה של הרכבת, אלא נשאר ללא שינוי ביחס לצופה על הרציף. המסקנה המתבקשת היא, שחוק חיבור המהירויות הקלאסי, על-אף היותו אינטואיטיבי מאוד, איננו נכון. חישובים המתבססים על עקרון הקביעות של מהירות האור מראים, שמהירותו של האדם הצועד בקרון ביחס לצופה על הרציף קטנה יותר מהמהירות שהיינו מצפים לה על-סמך חוקי התנועה של גליליאו. ההבדל בין התוצאה המצופה לערך האמיתי שמתקבל הוא כה קטן במהירויות לא יחסותיות, שהוא איננו מדיד באופן מעשי, אולם ככל שמהירויות הגופים גדלה (מהירותו של הקרון ביחס לרציף או מהירותו של האדם הצועד בו), כן גדל הפער בין הערך שתורת-היחסות מנבאת לבין הערך המצופה על-פי הפיזיקה הקלאסית. אם כן, תורת-היחסות מציעה חוק חיבור מהירויות חדש, שאינו תואם את ציפיותיו של "השכל הישר" שלנו (המבוסס על ניסיוננו היומיומי), אולם לאור ההתנהגות הכל-כך בלתי צפויה של המרחב והזמן כבר איננו צריכים להיות מופתעים מכך שגם מהירויות של גופים נוטלות חלק במשחק זה.

מהירות ומאסה

כאשר המנוע של חללית מופעל, החללית מאיצה, כשעל-פי החוק השני של ניוטון מידת ההאצה של החללית נמצאת ביחס ישר לכוח שהמנוע מפעיל עליה וביחס הפוך למאסתה. אולם ראינו כבר, שעל-פי חוק חיבור המהירויות החדש כל תוספת של מהירות איננה מסתכמת באופן חשבוני פשוט, והמהירות החדשה המתקבלת קטנה יותר מזו שהיינו מצפים לה על-פי חוקי התנועה של גליליאו, כשככל שמהירות הגוף (במקרה זה החללית) גבוהה יותר, כן תוספת המהירות ניכרת פחות. המסקנה היא, שבמהירויות יחסותיות קשה יותר להאיץ (ואף להאט) את החללית, והיא מתנהגת כאילו מאסתה גדלה. למעשה, כדי להאיץ גוף המתקרב מאוד למהירות האור, יש צורך בכמות אנרגיה כה גדולה, שכל מבצע כזה הוא בלתי-אפשרי.

‏‏בתורת היחסות אין פרדוקסים
יש המנסים להראות שבתורת היחסות מתקבלות סתירות בין תיאורי-המציאות של הצופים במערכות השונות, כלומר, שהיא יוצרת פרדוקסים, ומכך הם מסיקים שתורת-היחסות אינה יכולה לתאר נכונה את המציאות. למעשה, כל ניסיון כזה מתבסס על הבנה לא-מספקת של תורת-היחסות, שכתוצאה ממנה מוצגת הבעיה באופן מוטעה. בתורת היחסות אין פרדוקסים – המציאות היא אחת, וכל הצופים מסכימים עליה. ההבדל היחיד בין דיווחי הצופים השונים הוא בקואורדינטות המרחב והזמן שהם מייחסים לאירועים. מכיוון שלא ניתן לקבוע נקודות-ציון מוחלטות במרחב ובזמן, הרי שכל מערכת רשאית לבחור את מערכת הקואורדינטות שבה היא משתמשת, כשמהירותה היחסית של המערכת קובעת את גודל השנתות על צירי המרחב והזמן שלה, ואת הזווית בין הצירים. באופן דומה ניתן למפות גם את כדור-הארץ באמצעות מערכת קואורדינטות שונות, אולם עצם בחירתה של מערכת קואורדינטות מסוימת איננה משפיעה על מיקומם הפיזי של האתרים הגיאוגרפיים השונים או על המתרחש בהם.

מהירות האור כמהירות גבולית בטבע

המסקנה המיידית ממה שנאמר היא שמהירותו היחסית של גוף איננה יכולה לעבור את מהירות האור. באופן תיאורטי ניתן להתקרב למהירות זו יותר ויותר, אולם כדי להגיע אליה ממש תידרש כמות אינסופית של אנרגיה, מה שהופך מבצע כזה לבלתי-אפשרי. רק חלקיקים חסרי מאסה (מאסת מנוחה, בעצם) נעים במהירות האור ממש, ואלה כוללים, בין השאר, את חלקיקי האור עצמו וקרינה אלקטרומגנטית בכלל. לעובדה שלמהירות בטבע יש חסם עליון יש השלכות מרחיקות לכת לגבי טיסות לחלל. אם לא נמצא דרך תיאורטית לעקוף מגבלה זו (באמצעות חורי-תולעת, למשל), אפילו טיסה לכוכב הקרוב ביותר למערכת השמש (כולל החזרה ממנו) תארך למעלה משמונה שנים בזמן כדור-הארץ. על נוסעי החללית הזמן יעבור אמנם לאט יותר, ועבורם גם טיסות חלל לכוכבים רחוקים ימשכו אולי חודשים ספורים בלבד, אולם סביר להניח שאף ארגון על כדור-הארץ, לא ממשלתי ולא פרטי, לא יממן טיסת-חלל יקרה, שמנקודת המבט של שולחיה תימשך מאות או אלפי שנים. משמעות נוספת של היות מהירות-האור מהירות גבולית בטבע היא שלא ניתן להעביר מידע במהירות גבוהה יותר, מה שמראש מגביל גם את היכולת לתקשורת בין-כוכבית.

מה המשמעות של כל זה?

הפער הגדול בין ציפיותיו של "השכל הישר" מתכונות המרחב והזמן לבין התנהגותם בפועל יוצר תחושת אי-נוחות פסיכולוגית. אי-נוחות זו הובילה פיזיקאים רבים לחפש הסברים יותר אינטואיטיביים לתופעת קביעות מהירות-האור, אולם כאמור, ללא הצלחה. תורת-היחסות עומדת איתן כבר כמאה שנה מול כל ניסיון להחליפה בתיאוריה המבוססת על אינטואיציות ניוטוניות. יתכן שנוכל לחוש מידת מה של הקלה מאי-נוחות זו, אם נבין, ש"השכל הישר" הוא

תוצר אבולוציוני שמשרת אותנו נאמנה בסביבה שבה מהירויות יחסותיות אינן משתתפות במשחק. לו היתה מהירות-האור נמוכה בהרבה, יש להניח שהאינטואיציות שלנו היו מתפתחות בהתאם, וכל תכונות המרחב והזמן שתוארו לעיל היו נראות לנו מובנות מאליהן. במידה רבה אפשר לראות בתורת-היחסות הישג יוצא-דופן של התבונה האנושית, אשר מתעלה מעל מגבלותינו הטבעיות בניסיונה לפענח את סודות היקום.

‏‏סימטריית מרחב-זמן
על-אף שתורת-היחסות נראית מסובכת יותר מהמכאניקה הניוטונית, היא מפשטת את תיאור המרחב והזמן בכך שהיא מצביעה על סימטריה בין השניים. המרחב והזמן ,בפיזיקה הקלאסית הם שתי מהויות שונות ועצמאיות, אך בתורת- היחסות המרחב והזמן שזורים זה בזה ומקיימים סימטריה מבחינת תיאור המציאות. לסימטריה זו ביטויים שונים, ולהלן נציג אחד מהם, מענייו במיוחד, שמציע הסבר יוצא- דופן לעובדה שמהירות-האור היא מהירות גבולית בטבע. נתאר לעצמנו מטוס שמהירותו קבועה, נאמר 500 קמ"ש. אם מטוס זה טס צפונה, הרי שהוא טס בכיוון זה במהירות של 500 קמ"ש, בעוד שבכיוון מזרח, למשל, הוא חסר מהירות. אם המטוס יסטה מעט מזרחה, נאמר בזוית של 300 עם הצפון, ניתן יהיה לומר שהוא טס צפונה במהירות של 433 קמ"ש ומזרחה במהירות של 250 קמ"ש. אם המטוס יטוס ישירות , מזרחה, תהיה מהירותו בכיוון זה 500 קמ"ש, בעוד שבכיוון צפון לא תהיה לו מהירות כלל. על אף שמהירותו קבועה יכול המטוס לשנות את רכיבי המהירות על כל אחד מהצירים באמצעות בחירה מתאימה של כיוון הטיסה. בכל מקרה, אין אף כיוון במרחב שהוא יכול לטוס בו במהירות העולה על 500 קמ"ש.

באופן דומה, עלי-ידי בחירה מתאימה של גודל השנתות על ציר הזמן כך ש-c שנתות יכנסו בשנייה אחת, נוכל לקבוע, שכל גוף ביקום נע במרחב-זמן במהירות-האור. כאשר גוף איננו משנה את מיקומו במרחב כל תנועתו היא לאורך ציר הזמן, והוא עושה זאת במהירות האור: c יחידות בשנייה. כאשר משנה הגוף את מיקומו במרחב, מהירותו בכיוון המרחבי אינה אלא הרכיב המרחבי של מהירותו הכוללת והקבועה (היא מהירות האור) במרחב-זמן, כשעכשיו רכיבה של מהירותו זו על ציר הזמן קטן יותר (תופעת התרחבות הזמן). במקרה שכל תנועתו של הגוף היא בכיוון המרחבי (חלקיק הנע במרחב במהירות האור), הרי שאין לו כלל רכיב על ציר הזמן, מה שתואם את מסקנות תורת היחסות. מכיוון שכל גוף נע תמיד במרחב-זמן במהירות-האור, ודרגת החופש היחידה שיש לו היא "כיוון" התנועה, הרי שהמהירות המרחבית הגדולה ביותר שהוא יכול להגיע אליה היא אכן מהירות-האור, וזאת כאשר הגוף נע בכיוון המרחבי בלבד, ללא רכיב על ציר הזמן.

לקריאה נוספת
פריץ רורליך, מפרדוקס למציאות, הוצאת מאגנס, 1995
ג'רמי ברנסטיין, אלברט איינשטיין וחזיתות הפיזיקה, למשכל, 2000
יוסף אגסי, אלברט איינשטיין - אחדות וריבוי, האוניברסיטה המשודרת, משרד הביטחון, 1989
Richard Wolfson, Simply Einstein, W.W. Norton, 2003
Lewis Carroll Epstein, Relativity Visualized, Insight Press, 2000

ביבליוגרפיה:
כותר: מרחב וזמן בתורת היחסות הפרטית
מחבר: כהן, מריוס
תאריך: אוגוסט 2005 , גליון 84
שם כתב העת: גליליאו : כתב עת למדע ומחשבה
הוצאה לאור: SBC לבית מוטו תקשורת ולאתר IFEEL
הערות לפריט זה:

1. מריוס כהן הינו דוקטורנט במחלקה לפילוסופיה באוניברסיטת בן-גוריון.


הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית