עמוד הבית > מתמטיקה וסטטיסטיקה
הד ארצי


תקציר
למה נועדה המתמטיקה? על תפקידיה של המתמטיקה בחשיפת החוקים המתרחשים בעולם, בניבוי ההתנהגות של הטבע, והיישומים המעשיים שלה.



למה נועדה המתמטיקה?
מחבר: איאן סטיוארט


עד כה ביססנו את הרעיון שאין עליו עוררין, שהטבע שופע תבניות. אך מה ברצוננו לעשות בהן? דבר אחד שאנו יכולים לעשות הוא להתבונן בהן ולהתפעל מהן. קיום מגע עם הטבע מיטיב עם כולנו: הוא מזכיר לנו מה אנחנו. ציור, פיסול וכתיבת שירה הן דרכים תקפות וחשובות לבטא את רגשותינו ביחס לעולם וביחס לעצמנו. האינסטינקט של היזם הוא לנצל את עולם הטבע. האינסטינקט של המהנדס הוא לשנותו. האינסטינקט של המדען הוא לנסות להבין אותו - לפענח מה באמת קורה בו. האינסטינקט של המתמטיקאי הוא להבנות את תהליך ההבנה הזה על-ידי חיפוש אחרי הכללות שמקשרות בין תת-חלוקות בולטות. מעט מכל האינסטינקטים הללו נמצא בכולנו, ובכל אינסטינקט טמון טוב ורע כאחד.

ברצוני להראות במה תרם האינסטינקט המתמטי להבנת האדם, אך תחילה ברצוני לגעת בתפקיד שמילאה המתמטיקה בתרבותו של האדם. לפני שאתם קונים דבר-מה, יש לכם מושג ברור למדי מה ברצונכם לעשות בו. אם זהו מקפיא, ברור שאתם רוצים שהוא ישמר מזון, אך מחשבותיכם מגיעות הרחק מעבר לכך: כמה מזון תצטרכו לאחסן? היכן תעמידו את המקפיא? לא תמיד זה עניין של תועלת. אתם עשויים לשקול לקנות ציור. עדיין תשאלו את עצמכם איפה תתלו אותו, והאם יופיו שווה את המחיר שדורשים תמורתו. כך הוא הדבר גם לגבי המתמטיקה, ולגבי כל תמונת עולם אינטלקטואלית אחרת, בין שהיא מדעית, פוליטית, או דתית, לפני שאתם קונים דבר-מה, נבון להחליט לשם מה אתם צריכים אותו.

מה ברצוננו, אם כן, להפיק מהמתמטיקה?

כל אחת מהתבניות בטבע היא תעלומה, כמעט תמיד תעלומה עמוקה. המתמטיקה מצטיינת בסיוע לפתרון תעלומות. זוהי דרך שיטתית פחות או יותר לחשוף את החוקים ואת המבנים הטמונים מאחורי תבנית או סדירות נצפית, ואחר-כך להשתמש בחוקים ובמבנים האלה כדי להסביר מה מתרחש בעולם. ואמנם, המתמטיקה התפתחה לצד הבנתנו את הטבע, כששתיהן מחזקות זו את זו. הזכרתי את ניתוח פתיתי השלג של קפלר, אך תגליתו המפורסמת ביותר היא צורת מסלוליהם של כוכבי-לכת. קפלר ניתח מתמטית את תצפיותיו האסטרונומיות של האסטרונום הדני בן-זמנו, טיכו בראהה, והגיע בסופו של דבר למסקנה שכוכבי-לכת נעים במסלולים אליפטיים. האליפסה היא עקום סגלגל שנחקר רבות בידי הגיאומטריקנים ביוון העתיקה, אך האסטרונומים הקדמונים העדיפו להשתמש במעגלים או במערכות של מעגלים כדי לתאר מסלולים בשמים, ולכן השקפתו של קפלר היתה מהפכנית בשעתה.

בני-האדם מפרשים תגליות חדשות במונחים של מה שחשוב להם. המסר שקיבלו האסטרונומים כששמעו על רעיונו החדש של קפלר היה, שרעיונות זנוחים מן הגיאומטריה היוונית העתיקה יוכלו לעזור להם לפתור את התעלומה של ניבוי תנועות כוכבי-הלכת. לא נדרש מהם דמיון רב כדי להבין שקפלר צעד צעד אדיר קדימה. ייתכן שכל סוגי התופעות האסטרונומיות, כמו למשל ליקויים, גשמי מטאורים ושביטים, מצייתים לאותו סוג של מתמטיקה. המסר למתמטיקאים היה שונה מאוד: אליפסות הן עקומות מעניינות באמת. לא נדרש מהם דמיון רב כדי להבין שתורה כללית של עקומות תהיה מעניינת אף יותר. מתמטיקאים יוכלו לקחת את החוקים הגיאומטריים המובילים לאליפסות ולעבד אותם, כדי לראות אילו סוגי עקומות אחרים ייווצרו כתוצאה מכך.

באופן דומה, כשגילה אייזק ניוטון את התגלית ההיסטורית, שתנועת גוף מתוארת על-ידי יחס מתמטי בין הכוחות הפועלים על הגוף הזה לבין התאוצה שלו, למדו מכך מתמטיקאים ופיסיקאים לקחים שונים לחלוטין. ואולם בטרם אוכל לספר לכם מה היו הלקחים הללו, עלי להסביר תחילה מהי תאוצה. תאוצה היא מושג עדין: אין זה גודל בסיסי, כמו אורך או מסה. התאוצה היא שיעור של שינוי. לאמיתו של דבר, היא שיעור של שינוי "מדרגה שנייה" - דהיינו, שיעור של שינוי של שיעור של שינוי. מהירותו של גוף - קצב ההתקדמות שלו בכיוון נתון - היא רק שיעור של שינוי: זהו השיעור שבו משתנה המרחק של הגוף מנקודה נתונה. אם מכונית מתקדמת במהירות קבועה של תשעים קילומטרים לשעה, המרחק שלה מנקודת ההתחלה גדל בתשעים קילומטרים כל שעה. התאוצה היא שיעור השינוי של המהירות. אם מהירות המכונית עולה מתשעים קמ"ש למאה קמ"ש, היא האיצה בשיעור מוגדר. שיעור זה תלוי לא רק במהירות ההתחלתית ובמהירות הסופית, אלא גם במהירות שבה התרחש השינוי. אם נדרשת למכונית שעה כדי להגדיל את מהירותה בעשרה קמ"ש, התאוצה היא נמוכה מאוד. אם נדרשות לה רק עשר שניות, התאוצה גבוהה הרבה יותר.

אינני רוצה להיכנס לנושא של מדידת תאוצות. הנקודה שלי כאן היא כללית יותר: התאוצה היא שיעור של שינוי של שיעור של שינוי. אפשר למצוא מרחקים בעזרת סרט-מידה, אך קשה הרבה יותר למצוא שיעור של שינוי של שיעור של שינוי של מרחק. משום כך נדרש לאנושות זמן רב, וגאון כמו ניוטון, כדי לגלות את חוק התנועה. אילו היתה התבנית תכונה מובנת מאליה של מרחקים, היינו מפענחים את סוד התנועה מוקדם הרבה יותר בהיסטוריה שלנו.

כדי לטפל בשאלות הקשורות לשיעורי שינוי, המציא ניוטון - ובנפרד ממנו גם המתמטיקאי הגרמני גוטפריד לייבניץ - ענף חדש במתמטיקה: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חדו"א). תורה זו שינתה את פני כדור-הארץ, פשוטו כמשמעו ובאופן מטאפורי כאחד. אך שוב, הרעיונות שעוררה תגלית זו היו שונים אצל אנשים שונים. הפיסיקאים יצאו לחפש חוקי טבע אחרים, שיוכלו להסביר תופעות טבע במונחים של שיעורי שינוי. הם מצאו שפע של חוקים כאלה השולטים בתופעות שונות: חום, קול, אור, דינמיקת זורמים (גזים ונוזלים), אלסטיות, חשמל, מגנטיות. התורות המודרניות האזוטריות ביותר העוסקות בחלקיקי יסוד עדיין משתמשות באותו סוג של מתמטיקה, אף-על-פי שהפרשנות, ובמידה מסוימת השקפת העולם המובלעת, היא שונה. על כל פנים, המתמטיקאים מצאו סדרת שאלות שונה לחלוטין שהם יכולים לשאול. ראשית כול, הם בילו זמן רב בהתחבטות בשאלה מה באמת פירוש הביטוי "שיעור של שינוי". כדי לחשב את מהירותו של גוף נע, עליכם למדוד היכן הוא נמצא, למצוא לאן הוא הגיע לאחר מרווח זמן קטן מאוד, ולחלק את המרחק שהוא עבר בזמן שחלף. ואולם אם הגוף נמצא בתאוצה, התוצאה תלויה במרווח הזמן שבחרתם. גם למתמטיקאים וגם לפיסיקאים היתה אותה האינטואיציה בנוגע לטיפול בבעיה זו: מרווח הזמן שמשתמשים בו צריך להיות קטן ככל האפשר. הכול היה יכול להיות נפלא, אילו רק היה אפשר להשתמש במרווח בגודל אפס, אך לרוע המזל הדבר אינו אפשרי, מאחר שהן המרחק והן הזמן שחלפו יהיו אפס, ושיעור שינוי של 0/0 הוא חסר משמעות. הבעיה העיקרית במרווחים השונים מאפס היא שלא משנה באיזה מהם תבחר, תמיד יהיה מרווח קטן יותר שבעזרתו תוכל לקבל תוצאה מדויקת יותר. מה שהיה מועיל באמת הוא מרווח הזמן הקטן ביותר האפשרי השונה מאפס - אך אין דבר כזה, מאחר שבהינתן כל מספר ששונה מאפס, המספר שהוא חצי מהמספר הזה גם הוא שונה מאפס. הכול היה מסתדר אם היה אפשר לקבל מרווח קטן בשיעור אינסופי - "אינפיניטסימל". לרוע המזל, פרדוקסים לוגיים קשים מתעוררים בהקשר של אינפיניטסימלים; בייחוד, אם אנו מגבילים את עצמנו למספרים במובן המקובל של המלה, אין דבר כזה. לפיכך, במשך כמאתיים שנה היתה האנושות במצב מוזר מאוד ביחס לחדו"א. הפיסיקאים השתמשו בו, בהצלחה יתרה, כדי להבין את הטבע ולנבא את אופן התנהגותו; המתמטיקאים הוטרדו בשאלה מה משמעותו האמיתית וכיצד לבנותו כך שיפעל כתורה מתמטית מבוססת כהלכה; והפילוסופים טענו שכל זה שטויות. הכול נפתר בסופו של דבר, אך עדיין אפשר למצוא הבדלים גדולים בגישות.

סיפורו של החדו"א מעלה שניים מן הדברים העיקריים שלשמם נועדה המתמטיקה: מתן כלים המאפשרים למדענים לחשב מה עושה הטבע, והעלאת שאלות חדשות שהמתמטיקאים יוכלו לעסוק בהן להנאתם. אלה הם ההיבט החיצוני וההיבט הפנימי של המתמטיקה, שלעתים קרובות מכונים מתמטיקה שימושית ומתמטיקה טהורה (אינני אוהב את שני שמות-התואר הללו, ואני אוהב עוד פחות את ההפרדה המשתמעת מהם). במקרה זה נראה שמי שקבע את סדר היום היו הפיסיקאים: אם השיטות של החדו"א פועלות, מדוע זה חשוב למה הן פועלות? אפשר לשמוע כיום את אותן הדעות מפי אנשים שמתגאים בהיותם פרגמטיסטים. אין לי בעיה עם הטענה שבמובנים רבים הצדק איתם. מהנדסים שמתכננים גשר רשאים להשתמש בשיטות מתמטיות מקובלות, גם אם הם אינם מכירים את החשיבה המפורטת ולעתים האזוטרית המצדיקה את השיטות האלה. אך אני, לדוגמה, לא הייתי מרגיש בנוח לחצות את הגשר הזה במכונית, אילו חשבתי שאיש אינו יודע מה מצדיק את השיטות האלה. וכך, על בסיס תרבותי, משתלם להעסיק כמה אנשים שתוהים על קנקנן של שיטות פרגמטיות ומנסים למצוא איך הן באמת פועלות. וזהו אחד מתפקידיהם של המתמטיקאים. הם נהנים מכך, ושאר האנושות מפיקה תועלת מהסוגים השונים של תוצרי-הלוואי של התהליך, כפי שנראה בהמשך.

בטווח הקצר, לא היה הבדל רב אם המתמטיקאים היו מרוצים מהתקפות הלוגית של החדו"א או לא. אך בטווח הארוך התברר כי הרעיונות החדשים שמתמטיקאים הגיעו אליהם כתוצאה מחשיבה על הקשיים הפנימיים האלה, היו שימושיים מאוד לעולם שמבחוץ. בימיו של ניוטון, לא היה אפשר לחזות מה יהיו השימושים האלה, אך אני חושב שאפילו אז היה אפשר לחזות את עצם העובדה שיהיו שימושים. אחד המאפיינים המוזרים ביותר, אך גם החזקים ביותר, של הזיקה שבין המתמטיקה ל"עולם הממשי" הוא שמתמטיקה מוצלחת, ואין זה משנה מהו מקורה, מתבררת בסופו של דבר כשימושית. יש תורות רבות ושונות מדוע הדבר חייב להיות כך, החל במבנה המוח האנושי וכלה ברעיון שהיקום בנוי איכשהו מחתיכות קטנות של מתמטיקה. הרגשתי היא שהתשובה כנראה פשוטה ביותר: המתמטיקה היא מדע התבניות, והטבע מנצל כמעט כל תבנית קיימת. אני מודה שקשה לי הרבה יותר למצוא טיעון משכנע שיסביר מדוע הטבע מתנהג בצורה כזאת. אולי השאלה היא הפוכה: אולי הנקודה היא, שיצורים המסוגלים לשאול שאלה מעין זו יכולים להתפתח רק ביקום בעל מבנה מסוג זה.1

תהא הסיבה אשר תהא, המתמטיקה היא בלי ספק דרך שימושית לחשוב על הטבע. מה אנו רוצים שהיא תאמר לנו על התבניות שאנו צופים בהן? יש תשובות רבות לכך. אנו רוצים להבין כיצד הן קורות. אנו רוצים להבין מדוע הן קורות - וזו שאלה שונה. אנו רוצים לארגן את התבניות והסדירויות העומדות מאחורי התופעות באופן המספק ביותר. אנו רוצים לנבא כיצד יתנהג הטבע. אנו רוצים לשלוט בטבע לצרכינו שלנו. ואנו רוצים לעשות שימוש מעשי במה שלמדנו על עולמנו. המתמטיקה עוזרת לנו לעשות את כל הדברים הללו, ולעתים תכופות היא הכרחית.

לדוגמה, חשבו על הצורה הספירלית של קונכיית השבלול. השאלה כיצד יוצר השבלול את הקונכייה שלו היא בעיקרה עניין של כימיה וגנטיקה. בלא להיכנס לפרטי פרטים, הגנים של השבלול כוללים מתכונים ליצירת כימיקלים מסוימים והוראות לאן להפנותם. כאן מאפשרת לנו המתמטיקה לנהל את הרישום המולקולרי שמסביר את התגובות הכימיות המתחוללות. היא מתארת את המבנה האטומי של המולקולות שבהן נעשה שימוש בקונכייה, היא מסבירה את החוזק והקשיחות של חומר הקונכייה לעומת החולשה והגמישות של גוף השבלול, וכן הלאה. לאמיתו של דבר, בלי המתמטיקה, לעולם לא היינו משתכנעים שהחומר בנוי מאטומים, ולא היינו מסוגלים לגלות כיצד האטומים מאורגנים. התגלית של הגנים, ולאחר מכן של המבנה המולקולרי של הדנ"א, החומר התורשתי, הסתמכו במידה רבה על קיומם של רמזים מתמטיים. הנזיר גרגור מנדל הבחין בקשרים מספריים סדירים בצורה שבה משתנות הפרופורציות של צמחים עם תכונות שונות, כמו צבע הזרעים כתוצאה מהכלאות. הדבר הוביל לרעיון הבסיסי של הגנטיקה: העובדה שבכל אורגניזם קיים צירוף נעלם של גורמים הקובע רבות מתכונותיו הגופניות, ושהגורמים האלה איכשהו מתערבבים ומתארגנים מחדש כשהם עוברים מהורים לצאצא. חלקים שונים רבים מהמתמטיקה תרמו לגילוי שהדנ"א הוא בעל המבנה המפורסם של סליל כפול. הם היו פשוטים כמו חוקי שרגף: תגליתו של ארווין שרגף, הביוכימאי יליד אוסטריה, שארבעת הבסיסים של מולקולת הדנ"א מופיעים בפרופורציות קשורות זו לזו; והם היו מתוחכמים כמו חוקי העקיפה (diffraction) של קרני אור, ששימשו להסקת המבנה המולקולרי של גבישי דנ"א על סמך תצלומי רנטגן שלהם.

השאלה מדוע לשבלולים יש קונכיות בצורת ספירלות היא בעלת אופי שונה לגמרי. אפשר לשאול אותה בכמה הקשרים, בהקשר קצר-הטווח של ההתפתחות הביולוגית, או בהקשר ארוך-הטווח של האבולוציה. התכונה המתמטית העיקרית של הסיפור ההתפתחותי היא צורתה הכללית של הספירלה. באופן בסיסי, הסיפור ההתפתחותי הוא על הגיאומטריה של יצור המתנהג בערך באותו האופן כל הזמן, אבל גדל והולך. דמיינו לעצמכם בעל-חיים זערורי, שצמודה אליו קונכייה היולית זעירה. בעל-החיים מתחיל לגדול. כיוון הגדילה הקל ביותר הוא הכיוון שאליו מצביעה שפת הקונכייה, משום שהקונכייה תפריע לו אם ינסה לגדול בכל כיוון אחר. אך לאחר שגדל קצת, הוא חייב להרחיב גם את הקונכייה שלו, לצורכי הגנה עצמית. לפיכך מצמיחה הקונכייה טבעת נוספת של חומר מסביב לשפתה. בשעה שהתהליך הזה נמשך, בעל-החיים גדל, ולכן גדלים השוליים סביב השפה. התוצאה הפשוטה ביותר היא קונכייה חרוטית, כמו שמוצאים בצדפות פשוטות כגון צלחיות. אך אם כל המערכת מתחילה עם פיתול קל, דבר ושהוא סביר בהחלט, אזי הקצה הגדל של הקונכייה מסתובב לאט-לאט בשעה שהוא מתרחב, והוא מסתובב מן המרכז כלפי חוץ. התוצאה היא חרוט שמתפתל בצורת ספירלה ההולכת ומתרחבת. אנו יכולים להשתמש במתמטיקה כדי לקשר בין הגיאומטריה המתקבלת לבין כל המשתנים השונים הכרוכים בתהליך, כגון קצב הגדילה ואקצנטריות הגדילה.

אם במקום זאת נחפש הסבר אבולוציוני, אנו עשויים להתמקד יותר בחוזק הקונכייה, שהוא בעל יתרון אבולוציוני, ולנסות לחשב אם חרוט דק וארוך הוא חזק או חלש יותר מספירלה הדוקת סלילים. או שנוכל להיות שאפתנים יותר ולפתח מודלים מתמטיים של התהליך האבולוציוני עצמו - הכולל שינויים גנטיים אקראיים, כלומר מוטציות, לצד ברירה טבעית.

דוגמה ראויה לציון לסוג חשיבה זה היא הדמיה ממוחשבת של האבולוציה של העין, שיצרו דניאל נילסון וסוזאן פלגר ופרסמו בשנת 1994. זכרו כי תורת האבולוציה המקובלת רואה בשינויי צורה אצל בעלי-חיים תוצאה של מוטציות אקראיות, שבעקבותיהן באה ברירה של אותם הפרטים היכולים לשרוד ולהתרבות טוב יותר מאחרים. כשצ'רלס דרווין הכריז על תורה זו, אחת ההסתייגויות הראשונות שהושמעו היתה, שמבנים מורכבים (כמו העין) חייבים להיווצר כשהם מעוצבים במלואם, אחרת לא יפעלו כיאות (אין שום תועלת בחצי עין), והסיכוי שמוטציות אקראיות ייצרו סדרה קוהרנטית של שינויים מורכבים הוא זניח. תיאורטיקנים של האבולוציה נחפזו להגיב, שגם אם אין תועלת רבה בחצי עין, עין מפותחת למחצה עשויה להיות מועילה ביותר. עין בעלת רשתית אך ללא עדשה, לדוגמה, עדיין תלכוד קרני אור וכך תוכל לגלות תנועה; כל דרך לשיפור יכולת הגילוי של טורפים מציעה יתרון אבולוציוני לכל יצור שניחן בעין כזאת. מה שיש לנו כאן הוא טיעון מילולי כנגד התנגדות מילולית לתיאוריה. אך הניתוח הממוחשב שנערך באחרונה מרחיק לכת הרבה יותר.

הוא פותח במודל מתמטי של תחום תאים שטוח, ומאפשר סוגי "מוטציות" שונים. תאים אחדים יכולים לפתח רגישות רבה יותר לאור, למשל, וצורתו של תחום התאים יכולה להתעקם. המודל המתמטי בנוי כתוכנית מחשב שעושה שינויים קלים ואקראיים מסוג זה, מחשבת עד כמה מיטיב המבנה שנוצר כתוצאה מכך לגלות אור ולהבחין בין התבניות שהוא "רואה", ובוחרת בשינויים המשפרים את היכולות האלה. במהלך הדמיה המקבילה לתקופה של כארבע-מאות אלף שנה - הרף עין במונחים אבולוציוניים - תחום התאים מתקפל לחלל כדורי עמוק בעל פתח דמוי-קשתית, ומה שדרמטי עוד יותר - עם עדשה. זאת ועוד, בדומה לעדשות שבעינינו, זוהי עדשה שמקדם השבירה שלה - השיעור שבו היא מכופפת את קרני האור - משתנה ממקום למקום. לאמיתו של דבר, תבנית השינוי של מקדם השבירה שמתקבלת בהדמיה הממוחשבת דומה מאוד לזו שלנו. כאן מראה המתמטיקה, אם כן, שעיניים יכולות ללא ספק להתפתח בהדרגה ובאופן טבעי, בהציען יתרון הישרדותי גדל והולך בכל שלב. יתר על כן, עבודתם של נילסן ופלגר מראה כי בהינתן יכולות-מפתח ביולוגיות מסוימות (למשל: היותם של התאים קולטי אור וניידים), אכן ייווצרו מבנים הדומים להפליא לעיניים - בהתאם לעקרון הברירה הטבעית של דרווין. המודל המתמטי מספק פרטים רבים נוספים שהטיעון הדרוויניסטי המילולי יכול היה רק לנחש, ומעניק לנו ביטחון רב הרבה יותר בכך שקו הטיעון הוא נכון.

אמרתי שתפקיד נוסף של המתמטיקה הוא לארגן את התבניות והסדירויות העומדות מאחורי התופעות באופן המספק ביותר. כדי להבהיר את ההיבט הזה, הבה נחזור לשאלה שהועלתה בפרק הראשון. איזו תבנית, אם בכלל, היא משמעותית: התבנית של שלושה כוכבים הממוקמים בשורה בחגורת אוריון, או התבנית של "שלושה בשורה" מבחינת זמני ההקפה של ירחי צדק? הבה נתחיל בתבנית של אוריון. תרבויות אנושיות עתיקות ארגנו את גרמי השמים במונחים של תמונות בעלי-חיים וגיבורים מיתולוגיים. במונחים אלה, מיקומם של שלושת הכוכבים בקבוצת אוריון נראה משמעותי, שכן אחרת לא היתה לגיבור חגורה שעליה יוכל לתלות את חרבו. ואולם אם נשתמש בגיאומטריה תלת-ממדית כעיקרון ארגוני ונציב את שלושת הכוכבים במיקומם הנכון בשמים, נמצא שהם נמצאים במרחקים שונים מאוד מכדור-הארץ. מיקומם על גבי קו ישר במרחקים שווים הוא מקרי, ותלוי בנקודה שממנה אנו צופים בהם. לאמיתו של דבר, המונח "קונסטלציה" (קבוצת כוכבים) הוא שם לא מתאים למקריות שמקורה בנקודת תצפית שרירותית.

היחס המספרי בין זמני ההקפה של איו, אירופה וגאנימד יכול אף הוא להיות מקרה שנובע מנקודת התצפית. כיצד יכולים אנו להיות בטוחים של"זמן מחזור" יש משמעות כלשהי בטבע? ואולם היחס המספרי הזה משתלב במסגרת דינמית באופן משמעותי ביותר. זוהי דוגמה לתהודה, שהיא קשר בין גופים הנעים במחזוריות, שבו מחזוריהם משולבים זה בזה, כך שהם תופסים את אותן עמדות יחסיות בפרקי זמן סדירים. פרק זמן משותף זה מכונה זמן המחזור של המערכת. לגופים השונים יכולים להיות זמני מחזור שונים, אך האחרונים קשורים זה לזה. אנו יכולים לחשב את הקשר הזה. במקרה של תהודה, כל הגופים במערכת חייבים לחזור לעמדת ייחוס קבועה לאחר מספר שלם של מחזורים - אך המספר הזה יכול להיות שונה לגבי כל אחד מהגופים הללו. יש אפוא זמן מחזור משותף לכל המערכת, ולכן לכל אחד מן הגופים יש זמן מחזור שהוא מחלק שלם של זמן המחזור המשותף. במקרה שלנו, זמן המחזור המשותף הוא זה של גאנימד: 7.16 יום. זמן המחזור של אירופה קרוב מאוד למחצית מזה של גאנימד, וזמן המחזור של איו קרוב לרבע ממנו. איו מקיף את צדק ארבע פעמים בזמן שאירופה מקיף אותו פעמיים, וגאנימד פעם אחת, ואז כולם נמצאים בדיוק באותן עמדות יחסיות כמו קודם לכן. תהודה מסוג זה מכונה תהודת 4:2:1.

הדינמיקה של מערכת השמש מלאה בתהודות. זמן הסיבוב של הירח סביב עצמו (בכפוף לתנודות קלות הנגרמות מהפרעות מגופים אחרים) זהה לזמן ההקפה שלו סביב כדור-הארץ - תהודת 1:1 של מחזור הסיבוב העצמי ומחזור ההקפה. משום כך אנו תמיד רואים מכדור-הארץ את אותו הצד של הירח, ולעולם לא את צדו השני. כוכב חמה משלים סיבוב אחד סביב עצמו מדי 58.65 יום, ומקיף את השמש מדי 87.97 יום. עכשיו, 175.94=87.97x2 ואילו 175.95=58.65x2, כך שמחזורי הסיבוב וההקפה של כוכב חמה מצויים בתהודת 2:3 (למעשה, במשך זמן רב חשבו שזוהי תהודת 1:1, וששני זמני המחזור הם 88 יום בקירוב, מחמת הקושי לצפות בכוכב-לכת כה קרוב לשמש כמו כוכב חמה. סברה זו העלתה את ההשערה, שצד אחד של כוכב חמה הוא לוהט לאין-שיעור, וצד אחר שלו קר לאין-שיעור, מה שהתברר כלא נכון. עם זאת קיימת תהודה - תהודה מעניינת יותר משוויון גרידא).

בין מאדים לצדק שוכנת חגורת האסטרואידים, אזור רחב שכולל אלפי גופים זעירים. התפלגותם איננה אחידה. במרחקים מסוימים מהשמש אנו מוצאים "תת-חגורות" של אסטרואידים, ובמרחקים אחרים כמעט אין אסטרואידים כלל, ההסבר בשני המקרים הוא תהודה עם צדק. קבוצת הילדה, אחת מתת-חגורות האסטרואידים הללו, נמצאת בתהודת 2:3 עם צדק. דהיינו, היא נמצאת בדיוק במרחק המתאים כך שכל אסטרואידי הילדה מקיפים את השמש שלוש פעמים על כל שתי הקפות של צדק. האזורים הריקים הבולטים ביותר מצויים בתהודות 2:1, 3:1, 4:1, 5:2 ו-7:2. העובדה שמשתמשים בתהודות כדי להסביר הן ריכוזי אסטרואידים והן אזורים שריקים מהם עשויה להטריד אתכם. הסיבה היא שלכל תהודה יש דינמיקה ייחודית לה. אחדות גורמות להצטברויות ואחרות עושות את ההפך מזה. הכול תלוי במספרים המדויקים.

עוד תפקיד של המתמטיקה הוא ניבוי. מתוך הבנת תנועת גרמי השמים יכלו האסטרונומים לנבא ליקויי לבנה וליקויי חמה וחזרתם של שביטים. הם ידעו לאן לכוון את הטלסקופים שלהם כדי למצוא אסטרואידים שחלפו מאחורי השמש, מעבר ליכולת התצפית שלהם. מאחר שתופעת הגאות והשפל נשלטת בעיקר על-ידי מיקום השמש והירח ביחס לכדור-הארץ, הם יכלו לנבא אותה שנים רבות מראש. (הגורם העיקרי המקשה על ניבויים מסוג זה איננו אסטרונומיה, אלא צורת היבשות ופני השטח של קרקעית האוקיינוסים, היכולים לעכב או לזרז גאות. עם זאת, הגורמים האלה נשארים בלא שינוי פחות או יותר במהלך מאות שנים, כך שברגע שמבינים את השפעותיהם, לא קשה לקזזם.) לעומת זאת, קשה הרבה יותר לחזות את מזג-האוויר, אנו יודעים על המתמטיקה של מזג-האוויר ממש כפי שאנו יודעים על המתמטיקה של הגאות והשפל, אך מטבע מהותו הוא אינו ניתן לחיזוי מלא. אף-על-פי-כן, מטאורולוגים יכולים לעשות תחזיות קצרות-טווח יעילות למדי של תבניות מזג-האוויר, נאמר שלושה או ארבעה ימים מראש. ואולם, חוסר היכולת לחזות בשלמות את מזג-האוויר הנעוץ במהותו איננו קשור כלל לאקראיות - נושא שידובר בו בפרק 8, כשנדון במושג הכאוס.

תפקיד המתמטיקה מרחיק לכת אל מעבר לניבוי גרידא. מרגע שמבינים כיצד מערכת פועלת, אין צורך להישאר צופה סביל. אפשר לנסות לשלוט במערכת, לגרום לה לנהוג כרצונכם. לא כדאי להיות שאפתנים מדי: בקרת מזג-האוויר, למשל, עודנה בחיתוליה - איננו יכולים להוריד גשם בהצלחה יתרה, גם כאשר יש ענני גשם בשמים. דוגמאות למערכות בקרה נעות מווסת-חום בדוד-חימום, השומר על המים בטמפרטורה קבועה, ועד לכריתת עצים כשיטה לניהול יערות בימי-הביניים. בלי מערכת בקרה מתמטית מתוחכמת, לא היה אפשר להטיס כלל את מעבורת החלל, שכן שום טייס אנושי אינו יכול להגיב במהירות המספקת כדי לתקן את אי-היציבויות הטבועות בה. השימוש בקוצבי-לב אלקטרוניים כדי לעזור לחולי-לב הוא עוד דוגמה לבקרה מסוג זה.

הדוגמאות האלה מביאות אותנו להיבט התכליתי ביותר של המתמטיקה: היישומים המעשיים שלה - או כיצד המתמטיקה מרוויחה את לחמה. עולמנו נשען על יסודות מתמטיים, והמתמטיקה היא חלק בלתי-נפרד מן התרבות הכלל-עולמית. הסיבה היחידה לכך שלא תמיד אנו מבינים עד כמה מושפעים היינו מהמתמטיקה היא שאנו שומרים עליה, מסיבות מובנות, מאחורי הקלעים. כאשר ניגשים לסוכן נסיעות ומזמינים חבילת נופש, אין צורך להבין את התורות המתמטיות והפיסיקליות המסובכות המאפשרות לתכנן מחשבים וקווי טלפון, את נוהלי האופטימיזציה המייעדים טיסות רבות ככל האפשר לכל נמל-תעופה, או את שיטות עיבוד הנתונים הנדרשות כדי לספק לטייסים תמונות מכ"ם מדויקות. כשצופים בתוכנית טלוויזיה, אין צורך להבין את הגיאומטריה התלת-ממדית הנדרשת כדי ליצור אפקטים מיוחדים על המסך, את שיטות הקידוד הנדרשות כדי להעביר אותות טלוויזיוניים על-ידי לוויינים, את השיטות המתמטיות המשמשות לפתרון המשוואות המתארות את תנועתו המסלולית של הלוויין, את אלפי היישומים המתמטיים השונים המופעלים במהלך כל צעד בייצור כל אחד מרכיבי החללית ששילחה את הלוויין למסלולו. כשחקלאי זורע זן חדש של תפוחי-אדמה, הוא אינו צריך לדעת את תורות הגנטיקה הסטטיסטיות, שבעזרתן זוהו הגנים שעושים את הזן המסוים הזה לעמיד בפני מחלות.

אך מישהו היה חייב להבין את כל הדברים הללו בעבר, אחרת לא היו ממציאים מטוסי נוסעים, טלוויזיות, חלליות ותפוחי-אדמה עמידים בפני מחלות. מישהו חייב להבין את כל הדברים הללו גם כעת, אחרת הם לא יוסיפו לפעול. מישהו אף יהיה חייב לפתח תורות מתמטיות חדשות בעתיד, שיוכלו לפתור בעיות שלא התעוררו קודם לכן, או שטרם נמצא להן פתרון, אחרת תתמוטט החברה שלנו כששינויים ידרשו פתרונות לבעיות חדשות או פתרונות חדשים לבעיות ישנות. אילו נעלמה לפתע המתמטיקה, כולל כל מה שמסתמך עליה, מעולמנו, היתה החברה האנושית קורסת תחתיה בתוך שניות ספורות. ואילו הוקפאה המתמטיקה, כך שהיא לא היתה מתקדמת לעולם ולו צעד אחד קדימה, היתה הציוויליזציה שלנו מתחילה לסגת לאחור.

איננו צריכים לצפות שתורות מתמטיות חדשות ישתלמו מיד. המעבר של רעיון מתמטי לדבר-מה שאפשר לייצרו במפעל או להשתמש בו בבית דורש בדרך-כלל זמן. זמן רב. מאה שנים אינן פרק זמן יוצא-דופן. בפרק 5 נראה כיצד התעניינות בתנודות של מיתרי ויולה במאה ה-17 הובילה, שלוש-מאות שנה לאחר מכן, לגילוי גלי הרדיו ולהמצאת הרדיו, המכ"ם והטלוויזיה. אפשר היה לעשות זאת יותר מהר, אך לא הרבה יותר מהר. אם אתם חושבים - כפי שחושבים אנשים רבים בתרבות הניהולית יותר ויותר שלנו - שאפשר לזרז את תהליך התגליות המדעיות בעזרת התמקדות ביישומים כתכלית והתעלמות מן המחקר "לשם סקרנות", טעות בידכם. למעשה, עצם הביטוי "מחקר לשם סקרנות" הומצא לאחרונה בידי ביורוקרטים חסרי מעוף, ככינוי גנאי מכוון. להיטותם לפרויקטים מסודרים המקנים רווח בתוך פרק זמן קצר איננה מחוכמת, משום שמחקר מעשי יכול להוביל רק לתוצאות צפויות מראש. עליכם לראות את המטרה כדי שתוכלו לכוון אליה. אך כל מה שאתם יכולים לראות, גם המתחרים שלכם יכולים לראות. העיסוק במחקר בטוח ירושש בסופו של דבר את כולנו. פריצות הדרך החשובות במדע הן תמיד לא צפויות, עצם העובדה שהן לא צפויות היא שעושה אותן לחשובות: הן משנות את עולמנו באופנים שלא שיערנו מראש.

זאת ועוד, מחקר מעשי נתקל לעתים קרובות בקיר אטום, ולא רק בתחום המתמטיקה. לדוגמה, לאחר שגילו המדענים את העיקרון הבסיסי של הקסרוגרפיה, נדרשו כשמונים שנה של מאמצים אינטנסיביים בתחום ההנדסה כדי לפתח את מכונת הצילום הראשונה. מכונת הפקס הראשונה הומצאה לפני יותר ממאה שנה, אך היא לא פעלה במהירות ובמהימנות מספקות. העיקרון של הולוגרפיה (תמונות תלת-ממדיות, ראו את כרטיס האשראי שלכם) התגלה לפני יותר ממאה שנה, אך איש לא ידע בזמנו כיצד לייצר קרן אור קוהרנטית - כלומר, שגליה בעלי אורך אחיד - שהיא הכרחית ליישום עקרון ההולוגרפיה. עיכוב מסוג זה איננו דבר יוצא-דופן בתעשייה, שלא לדבר על שטחי מחקר אינטלקטואליים יותר, והמחסום נפרץ על-פי-רוב רק כשעולה רעיון חדש ולא צפוי על הבימה.

אין כל רע במחקר מעשי כדרך להשגת יעדים אפשריים מוגדרים, אך יש להתיר יד חופשית גם לבעלי החלומות ולאלה שאינם הולכים בתלם. עולמנו איננו סטאטי: בעיות חדשות צצות בלי הרף, ותשובות ישנות מפסיקות לפעול לעתים קרובות. בדומה למלכת הלבבות האדומים של לואיס קרול, עלינו לרוץ מהר מאוד כדי לעמוד במקום אחד.

הערות
1. הסבר זה ואחרים נידונים בספרם של ג'ק כהן ואיאן סטיוארט, התמוטטות הכאוס
(Jack Cohen and Ian Stewart, The Collapse of Chaos, New York, Viking, 1994)

קראו עוד:

הסדר הטבעי

ביבליוגרפיה:
כותר: למה נועדה המתמטיקה?
שם  הספר: המספרים של הטבע : המציאות הלא מציאותית של המתמטיקה
מחבר: סטיוארט, איאן
עורך הספר: אלעזר, מיקי
תאריך: 1999
הוצאה לאור: הד ארצי
הערות: 1. מאנגלית: תמר עמית.
2. סדרה: מדע - ספרי מופת.
הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית