עמוד הבית > מתמטיקה וסטטיסטיקהעמוד הבית > מדעי הרוח > פילוסופיה > לוגיקה
פרידמן, ש.


תקציר
המתמטיקה נתפסת כהכרה הפילוסופית הטהורה היחידה. זוהי הכרה א-פריורי, משמע, שאינה מסתמכת על נסיון החושים



מתמטיקה
מחבר: פרופ' ג'. או. יורמסון


היוותה מאז ומתמיד נושא להתעניינות הפילוסופים, לא רק בזכות עצמה, אלא גם בשל החשיבות הנודעת לה לגבי בעיית טבעה וגבולותיה של ההכרה, שהרוח האנושית עשויה להשיג באמצעות התבונה הטהורה ובלא הזדקקות לתצפית או לניסוי. אין ספק בכך, שאנו מגיעים אל תפישתן של אמיתות מן הסוג 4=2+2 רק במהלכו של הניסיון, אולם אין זו אמת ניסיונית מסוג זו האומרת: שאם נצרף שתי טיפות מים לשתי טיפות מים אחרות נקבל שלולית קטנה אחת. נכון אמנם, שהידיעה המתמטית עולה לפנינו באמצעות הניסיון; אבל נכון לא-פחות, שאין היא מבוססת על הניסיון: אין אנו צריכים לשלוח משלחות לאפריקה כדי לבדוק אם גם שם 4=2+2. דומה, איפוא, שההכרה המתמטית היא הדוגמה המובהקת להכרה שכלית טהורה, הנרכשת ומושגת באמצעות החשיבה בלבד ובאופן בלתי-תלוי באימות הניסיוני; זוהי, איפוא, דוגמא מובהקת של מה שנקרא בשפה המקצועית של הפילוסופים הכרה א-פריורי. יוצא, איפוא, שהמתמטיקה מתגלה כהפרכה של הטענה האמפיריציסטית שכל הכרה מבוססת על ניסיון-חושים. זוהי דוגמה נגדית בלתי-ניתנת-לערעור כל כך, עד כי מבין האמפיריציסטים העז רק מיל (J.S. Mill) לנסות לקעקעה, בטענה שהאמיתות המתמטיות אינן בעצם אלא הכללות ניסיוניות מבוססות היטב.

ברם, המתמטיקה היא אתגר לפילוסופיה גם מבחינה אחרת, שכן בעיה קשה היא לגלות על מה מוסבת המתמטיקה: מהו המספר שניים, ומה משמע לחבר שניים ועוד שניים, שכן שניים בוודאי איננו עצם פיסיקלי ופעולת החיבור בוודאי איננה פעולה של צירוף עצמים פיסיקליים, כדרך שמצרפים שתי ביצים אל שתי ביצים אחרות. אותה בעייה עצמה עולה גם ביחס לגיאומטריה, שכן אם יש להבין את המשפט האומר, שסכום הזוויות הפנימיות במשולש שווה לשתי זוויות ישרות כמתייחס אל משולשים המשורטטים על הנייר, כי אז כמעט אין ספק שהמשפט הוא שקרי; מה הם, איפוא, המשולשים, המלבנים, הנקודות והקווים, שעליהם מדברת הגיאומטריה?

כאשר נותנים אנו את דעתנו על קשיים אלה, אין זה מפתיע לגלות שאפלטון (Plato), הפילוסוף הגדול הראשון שעסק באופן שיטתי ומקיף בפילוסופיה של המתמטיקה, ראה במתמטיקה דוגמה עילאית להכרתו של עולם על-חושי מורכב מישויות שכליות, החשופות בפני התבונה בלבד, עמדה שבעיקרה נתקבלה גם על דעתו של רסל (Russell) בראשית דרכו הפילוסופית. עם זאת, השקפה מעין זו איננה יכולה לספק את תביעותיו המוצקות של השכל הישר; האמפיריציסט מוכרח למצוא הסבר אחר. הניסיון המפורסם ביותר בתולדות הפילוסופיה למצוא הסבר אחר לבעייה זו היה נסיונו של קנט (Kant), שלגבי דידו היתה בעיית המתמטיקה בעלת משקל מכריע. כאן עלינו להפנות את הקורא אל הערך קנט (Kant), שם יוכל למצוא הסבר מקיף להשקפותיו על המתמטיקה, שכן אין להסבירן אלא בהקשר אחד עם שיטתו הכוללת.

בסוף המאה ה-19 ובראשית המאה ה-20 פיתחו פרגה (Frege) בגרמניה ורסל באנגליה (באופן בלתי תלוי זה בזה), את המפורסמות ביותר מבין התורות המודרניות על המתמטיקה, הנקראת בדרך כלל בשם "התורה הלוגיסטית". אם נסתפק בתיאור תורה זו במילים ספורות, כי אז אפשר לומר שלדעת פרגה ורסל ניתן להגדיר את המונחים המתמטיים המובהקים, כגון מספר, חיבור ודומיהם, באמצעות מונחים לוגיים, וכי ניתן לגזור את משפטי המתמטיקה מתוך אכסיומות לוגיות טהורות; המתמטיקה איננה, איפוא, אלא ענף של תורת-ההיגיון. נסקור-נא עתה בקצרה את תוכנה של תורה זו.

בסוף המאה ה-19 הצליח המתמטיקאי האיטלקי פיאנו (Peano) להראות, שניתן לגזור את האריתמטיקה של המספרים היסודיים הסופיים מתוך חמש הנחות-יסוד - אכסיומות - ומתוך שלושה מונחים בלתי-מוגדרים: אפס, מספר העוקב של..., ברור כי אי-אפשר שהמתמטיקה תיחשב להמשכה הרצוף של תורת-ההיגיון, אלא אם כן ניתן להגדיר את כל מונחי המתמטיקה באמצעות מונחיה של תורת-ההיגיון; יוצא, איפוא, שאם פרגה ורסל ביקשו לבסס את עבודתם על מימצאיו של פיאנו, מוכרחים היו להגדיר את המונחים אפס, מספר והעוקב של..., במונחיה של תורת-ההיגיון. ואמנם הם טענו, שהצליחו במשימה זו - פרגה בחיבורו "יסודות האריתמטיקה" (1884) (The Foundations of Arithmetic), יצירת-מופת של כתיבה פילוסופית שאיננה ארוכה מדי ואף לא קשה מדי, ורסל בספרו, "עקרונות המתמטיקה" (1903) (The Principles of Mathematics). מונחי-המפתח שרסל משתמש בהם הם קבוצה, השתייכות לקבוצה ודמיון; באופן כזה הוא מגדיר את המספר בכלל כ"קבוצת הקבוצות הדומות לקבוצה נתונה". לא נוכל, בהקשר זה, להיכנס לפרטים טכניים; העיקר הוא להבין שהגדרות המינוחים היסודיים של המתמטיקה נוסחו כך, שניתן היה לנסח מחדש כל משפט מתמטי באופן שכל הזדקקות למספרים תוחלף על-ידי הזדקקות לקבוצות, השתייכות לקבוצות ויחסים בין קבוצות. והרי אין להטיל ספק באשר להשתייכות המושג קבוצה לתורת-ההיגיון.

ברם, אם עתידה המתמטיקה להזדהות עם תורת-ההיגיון, אין זה מספיק שנהיה מסוגלים להעמיד את אוצר המונחים של המתמטיקה על זה של תורת ההיגיון; אלא מן ההכרח שנוכל לגזור גם את חמש האכסיומות של פיאנו מתוך אכסיומות לוגיות מובהקות. משימת ענק זו התבצעה על-ידי פרגה בספרו "חוקי-היסוד של האריתמטיקה" (Grundge-setzeder Arithmetic) ועל ידי וייטהד (Whitehead) ורסל בסיפרם המשותףPrincipia Mathematica , החיבור הלוגי המפורסם ביותר מאז האנליטיקות של אריסטו (Aristotle). פילוסופים רבים מוכנים לטעון, כי וייטהד ורסל הצליחו בעיקרו של דבר במשימתם ולפיכך הם מתייחסים אל התורה הלוגיסטית של המתמטיקה כאל תורה קבועה ועומדת. לדעתם הוכח, כי כל המתמטיקה איננה אלא עיבוד מרחיק לכת של סידרת אכסיומות לוגיות פשוטות (טריביאליות ) למדי.

המתנגדים לתורה הלוגיסטית יטענו, שלא כל האכסיומות הדרושות הן פשוטות (טריביאליות ) כל כך. הקשיים הכרוכים באכסיומת הבחירה ובאכסיומת ההעמדה הם טכניים מדי ואיננו יכולים לפרטם כאן במלואם; עם זאת נוכל לציין בקצרה את הקשים הכרוכים באכסיומת האינסוף. הגדרת המספר של רסל היא כזאת, שכאשר מדברים על המספר שלוש, הרי משמעות הדבר, למעשה, שאנו מדברים על הקבוצה המכילה את כל הקבוצות בנות שלושה אברים, והמספר תשע משמעו קבוצת כל הקבוצות בנות תשעה איברים; ברם אילו היו בעולם רק שמונה עצמים, כי אז קבוצת הקבוצות בנות תשעה איברים היתה קבוצה ריקה; וכן הדבר לגבי כל שאר המספרים הגדולים משמונה; כך שכל המספרים הגדולים משמונה היו שווים ביניהם, ואף שווים כולם לאפס - טענה שהיא כמובן חסרת שחר. כדי להימנע מלהגיע אי-פעם בסדרת המספרים הסופיים השלמים, לשלב אשר בו כל המספרים ישוו לאפס – העלו וייטהד ורסל את אכסיומת-האינסוף, האומרת למעשה שמצויים ביקום עצמים במספר אינסופי. ברם, אמיתותה של טענה זו איננה מובנת מאליה, ואף אם אמיתית היא, בוודאי שאין מדובר כאן באמת לוגית. השאלה אם ניתן להתגבר על קשיים מעין אלה בלא נטישת התורה הלוגיסטית – עודנה פתוחה ושנויה במחלוקת.

מבין התורות האחרות שנוסחו כנגד המשנה הלוגיסטית, הידועה ביותר היא התורה הצורנית (Formalism). תורה זו, כפי שנוסחה על-ידי נציגה המובהק ביותר, הילברט (Hilbert) טוענת, שיש להתייחס אל המתמטיקה כאל תחשיב מופשט, שמונחיו, המספרים, אינם מקבלים בו פירוש כלשהו מעבר לעובדת היותם דברים המספקים את האכסיומות; מהותה של המתמטיקה מתמצה בכך שהיא חופשית מסתירה - מהות שהיא בבחינת תכונה צורנית מובהקת. מבקריה של תורה זו טוענים, שמן ההכרח להעניק למונחים המתמטיים משמעות רחבה יותר מאשר המשמעות הצורנית הצרה, אם מניחים שאת המתמטיקה יש להחיל וליישם; יתר-על-כן, אף בתוך המתמטיקה עצמה מוכרחים אנו להזדקק לטענות מן הסוג "למספר ארבע יש שני שורשים מרובעים", ובמקרה זה המשמעות של המונח "שניים" היא ללא ספק רחבה יותר מן המשמעות הצורנית המוצעת.

אין בנמצא תשובה מקובלת על הכל לבעיות העיקריות בדבר טבעה של המתמטיקה. אך למרות אי-ההסכמה הקיימת מתברר יותר ויותר, ככל שעובדות המחקר מתקדמות, שניתן להגדיר את מהותה של המתמטיקה תוך קבלת אופיה הא-פריורי, אך בלי לקבל את ההשקפה האפלטונית, המייחסת לה איזו יכולת חדירה רציונלית לתוך עולם של מהויות נצחיות, אשר הן מושא המחקר המתמטי.

* העורך הוא פרופסור לפילוסופיה באוניברסיטאות פרינסטון ואוכספורד.

ביבליוגרפיה:
כותר: מתמטיקה
שם  הספר: פילוסופיה
מחבר: יורמסון, ג'. או. (פרופ')
עורכי הספר: שרפשטיין, בן עמי  (פרופ') ; יורמסון, ג'. או.  (פרופ')
תאריך: 1967
הוצאה לאור: פרידמן, ש.
הערות: 1. עורך המהדורה העברית: פרופ' בן עמי שרפשטיין.
2. עורך המהדורה הלועזית : פרופ' יורמסון, הוא פרופסור לפילוסופיה באוניברסיטאות פרינסטון ואוכספורד.
3. סדרה אנציקלופדית ''אופקים חדשים''.
הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית