עמוד הבית > מתמטיקה וסטטיסטיקהעמוד הבית > מדעי הרוח > פילוסופיה > לוגיקה
פרידמן, ש.


תקציר
פרגה, פילוסוף שחי בתחילת המאה העשרים, נחשב כמייסדה של הלוגיקה המתמטית, וכן כפילוסוף של הלוגיקה ושל המתמטיקה



פרגה גוטלוב
מחבר: פרופ' ג'. או. יורמסון


(1848 - 1925), פילוסוף גרמני. חשיבותו ההיסטורית היא כפולת-פנים: ראשית כמייסדה של הלוגיקה המתמטית, ושנית, כפילוסוף של הלוגיקה ושל המתמטיקה. הוא המציא את המושג של מערכת צורנית (formal system) תוך כוונה להשיג את האידיאל המתמטי של דיוק חמור; בסיפרו (1879) Begriffsschrift נתן את מה שהיווה בעת ובעונה אחת דוגמה ראשונה למערכת צורנית וניסוח ראשון של תחשיבי הפסוקים והפרדיקאטים. הוא קבע לראשונה את ההבחנה בין אכסיומות (מושכלים-ראשונים) לבין כללי-היסק והנהיג את האמצעי המבדיל את תורת-ההגיון מקודמותיה ומעניק לה עליונות לגביהן, היינו – השימוש במשתנים (variables) ובכמתים (quantifiers).

לאחר מכן פנה פרגה לישום המערכת הצורנית שלו על האריתמטיקה. תוך כדי כך גילה את האפשרות לפורמליזציה של האריתמטיקה בלא להיזקק למושגים או לאכסיומות שהם מחוץ לגדרה של תורת-ההגיון, אם מקבלים את המושגים של קבוצה ומחלקה כמושגים השייכים לתורת-ההגיון. אפשרות זו התבססה על ההגדרה המפורסמת של מספר קרדינלי, (מספר יסודי) שנוסחה ונתגלתה מחדש מאוחר יותר על-ידי רסל (Russell), הקובעת כי מספר קרדינלי הוא קבוצת כל הקבוצות המקיימות התאמה חד-חד-ערכית עם קבוצה נתונה; כן התבססה על הדרך שנתגלתה לראשונה ע"י פרגה, שבה ניתן להפוך הגדרה רקורסיבית (Recursive) להגדרה מפורשת (גם את זאת עשה בספר הנזכר לעיל). הגדרתו של מספר קרדינלי נובעת באופן טבעי מתוך הגילוי שהמושג הבסיסי לגבי עולם המספרים הוא המושג של "אותו מספר כמו". כשיישאל מי שאיננו בקיא בעניינים אלה, למה מתכוון האומר כי בשתי קבוצות שונות ישנו אותו מספר אברים, עשוי הוא לענות, שהכוונה היא כי כל המונה את האברים בשתי הקבוצות, יגיע אל אותו המספר. ברם, פרגה שם לב לעובדה שאפשר לטעון כי בשתי קבוצות יש אותו מספר אברים, מבלי שיהיה צורך למנות את אברי שתי הקבוצות: כך למשל, אם מלצר בודק ומוצא שלימינה של כל צלחת מצויה סכין, יודע הוא בוודאות שמספר הסכינים שווה למספר הצלחות שעל השולחן. פרגה יצר התאמה חד-חד-ערכית בין קבוצת הסכינים לבין קבוצת הצלחות, באמצעות היחס "האובייקט הנמצא בצד ימין של…". יתר-על-כן, מנייתם של אברי קבוצה מסויימת איננה אלא מקרה מיוחד של קביעת יחס חד-חד-ערכי, כי בעצם, כשאני מונה את מספר אבריה של קבוצה מסויימת ומוצא שיש בה מ איברים, הרי שאין אני אלא מגדיר פונקציה מתור הקבוצה שערכיה הם המספרים הטבעיים מ-1 עד מ. על ידי הסברת המושג "אותו מספר אברים כמו…" במונחים של יחס חד-חד-ערכי, הננו מעניקים משמעות לאמירה שלקבוצה אינסופית אחת יש אותו מספר אברים כמו לקבוצה אחרת, אף כי מובן מאליו שאי-אפשר למנות את אבריהן של קבוצות אינסופיות. כדי לסלול את הדרך אל תורת-ההגיון הסמלית, כתב פרגה ספר ללא שימוש בסמלים, בשם "יסודות האריתמטיקה" (1884) (Die Grundlagen der Arithmetic). ספר זה הפך בינתיים לספר קלסי מבחינת דרכו בהרצאת הדברים; כמו-כן הוא מפריך לחלוטין את כל הדרכים הפילוסופיות שבהן הסבירו קודם לכן את האופי של המספרים ושל האריתמטיקה. כדי להשיב על שאלה כגון "מה הוא המספר 1?", אומר פרגה, עלינו למצוא הסבר למשמעותם של משפטים הכוללים את הסמל "1". אל לנו לטעות ולשאול למשמעותה של מילה בודדת: רק בתוך הקשרו של משפט יש למילה בודדת משמעות. אם נשאל למשמעותה של מילה בודדת, נהיה נוטים להשיב על כך תוך תיאור הדימויים הנפשיים העולים בדעתנו כשאנו שומעים את המילה. אך דימויים אלה אינם שייכים כל עיקר לעניינה של משמעות המילה. אותה מילה עצמה עשויה לעורר דימויים שונים בנפשותיהם של בני-אדם שונים ומילים שונות עשויות לעורר אותו דימוי עצמו בנפשו של אדם אחד. מכל מקום, הדימוי איננו יכול לקבוע את משמעויותיהם של משפטים הכוללים את המילה הנדונה. במקום אחר מבחין פרגה בין שתי תכונות השייכות למשמעותה של מילה: הדימויים והאסוציאציות המתעוררים בעקבות השמעת המילה, הקרויים בפי פרגה "גוונה של המילה" ומשמעותה במלוא מובן המושג "משמעות". משמעותה של המילה היא אובייקטיבית; תכונה זו של משמעות, ורק היא, קובעת את אמיתותו או את שקריותו של משפט המכיל את המילה שבה מדובר. כאשר אנו יודעים כיצד לקבוע את ערך האמת של משפטים המכילים את המילה שבה מדובר, אנו יודעים את כל אשר ניתן לדעת על משמעותה של המילה ואין כל אפשרות לדרוש. משהו נוסף. בין המשפטים החשובים ביותר שבהם יכול להימצא מונח בודד, ניתן למנות את אלה המבטאים שיפוטי-זהות; פרגה מדגיש שהעלאת קנה-המידה של הזהות לגבי "איקסים" הוא חלק הכרחי של תהליך קביעת המשמעות של המילה "איקס". אין ספק איפוא שהחלק הראשון של הספר "מחקרים בתורת-ההגיון" (Logical Investigations) לויטגנשטיין (Wittgenstein) מושפע ביותר מרעיונותיו אלה של
פרגה.

במאמר מפורסם שיצא לאור בשנת 1892 מבחין פרגה הבחנה חדשה, שאיננה מצויה בסיפרו "יסודות האריתמטיקה", בין משמעותה של מילה לבין התייחסותה (reference). התייחסותו של מונח פרטי (singular term) היא האובייקט שעליו אנו מדברים כשאנו משתמשים במשפט הכולל את המונח הנדון. ברם, אין אנו צריכים לקבל את דעתו של ג'. ס' מיל (J.S. Mill) שהמשמעות אפילו של שם-עצם פרטי מתבטאת בהתייחסותו בלבד; משמעותו של מונח איננה נקבעת באורח בלעדי על-ידי התייחסותו. כך, למשל, אם להשתמש בדוגמה הנקוטה בידי פרגה עצמו, עשוי חוקר לגלות את קיומו של הר מצידו הדרומי ולהעניק לו שם, בה בשעה שחוקר אחר גילה אותו הר מצידו הצפוני והעניק לו שם אחר; במקרה כזה יתכן שיחלוף זמן רב עד אשר יתברר שהמדובר הוא באותו הר עצמו; במקרה כזה יהיו שני השמות בעלי משמעויות שונות אך בעלי אותה התייחסות. משמעותו של משפט שלם היא מחשבה (בהקשר זה, ה'מחשבה' כמונח טכני דומה במקצת ל"משפט" של רסל); המחשבה היא אמיתית או שקרית, והיא בלתי-מטריאלית אף כי היא אובייקטיבית. יוצא איפוא שההתייחסות איננה יכולה להיות יסוד מרכיב של המחשבה; אם אני מדבר על האברסט, הרי שההר עצמו איננו יכול להיות חלק מן המחשבה שאני מבטא. יחד עם זאת, אני מצליח לדבר על ההר עצמו ולא על איזה קוטב-מצטרף אשלייתי; ההתייחסות היא בדרך כלל משהו בלתי-לשוני, משהו "מתוך ובתוך העולם".

השאלה אם ביטוי מסויים הוא שם עצם פרטי או לא, היא בשביל פרגה רק שאלה אודות התנהגותו הלוגית. לפיכך אל "אדום" ו"5" (בתורת שמות-עצם) ניתן להתייחס כאל שמות-עצם פרטיים, שכן למשפטים "אדום הוא צבע ראשני" ו"5 הוא מספר ראשוני" יש בדיוק אותו מבנה לוגי כמו למשפט "חרושצ'וב הוא אדם פיקח". אם ביטוי מסויים ממלא תפקיד של שם-עצם פרטי והוא בעל משמעות מוגדרת, כי אז הוא באמת שם-עצם פרטי; וביטוי הוא בעל משמעות מוגדרת אם אנו מייחסים משמעות לכל המשפטים המכילים את הביטוי הנדון. התשובה לשאלה: "האם לביטוי מסויים יש התייחסות?" מותנית בתשובה לשאלה האחרת: "האם בדרך כלל נאמר שיש משהו העונה על האיפיון או הציון שבביטוי הנידון?" כך, למשל, לביטוי "המספר המושלם בין עשר לשלושים" יש התייחסות, כיוון שקיים מספר שהוא מושלם ונמצא בין עשר לשלושים. הרעיון שישנה שאלה פילוסופית נוספת, השואלת האם באמת קיים אובייקט שהביטוי בא לבטאו, עולה מתוך הטעות שב"ניסיון לבקש התייחסות למונח בודד". פרגה מכנה בתור אובייקט כל דבר שהוא בבחינת התייחסותו של ביטוי פרטי; לגבי דידו, לגיטימי לדבר על מספרים (ועל "ישויות מופשטות" אחרות) בדיוק כפי שלגיטימי לדבר על מושאים אחרים, כגון בני-אדם או ערים. יוצא איפוא שהאריתמטיקה היא אסופה של אמיתות הסובבות על מושאים מסויימים, בדיוק כפי שכל מדע אחר מוסב על מושאו-הוא; משימתו של המתמטיקאי היא לגלות אמיתות אלה, התופסות ועומדות בתקפותן, בין אם אנו מגלים אותן ובין אם לאו.

פרגה מבחין בין שני סוגי ביטויים השונים זה מזה באורח יסודי: "ביטוי רווי" (saturated) ו"ביטוי בלתי-רווי". מונחים פרטיים הם ביטויים רוויים, וגם משפטים שלמים הם כאלה. ביטויים בלתי-רווים הם נשואים כגון "...גבוה", ביטויים התייחסותיים כגון "...משעמם...", וביטויים פונקציונליים כגון "בירתה של...", קיצורו של דבר, ביטויים המכילים פערים וההופכים לביטויים רוויים כאשר פערים אלה מתמלאים על-ידי ביטויים רוויים. ביטויים בלתי-רוויים אינם סדרות-גרידא של מילים, ללא קשר ביניהן, שכן אנו צריכים להיות מסוגלים להצביע על מקום-הימצאם של הפערים ולקבוע אילו מהם חייבים להתמלא על-ידי אותם מונחים (terms), ואילו על ידי מונחים אחרים (המשתנים, הם אמצעי להצביע על כך). יוצא איפוא שביטוי בלתי-רווי הוא בעצם תכונה משותפת למשפטים אחדים ולא חלק הניתן לבידוד של משפטים אלה. לביטוי בלתי-רווי, כמו גם לביטוי רווי, יש התייחסות, אך ההתייחסות הזאת היא משהו בלתי-רווי, משהו שעליו כבר אי-אפשר לחשוב כעומד בפני עצמו, משהו השונה איפוא לחלוטין מאובייקט. פרגה קורא להתייחסותו של פרדיקאט "מושג", ולמושגם של ביטויים התייחסותיים או פונקציונליים - "יחסים" ו"פונקציות". יש להבחין בין התייחסותו של ביטוי בלתי-רווי לבין משמעותו, באותה חדות שבה יש להבחין בין התייחסותו של שם-עצם פרטי לבין משמעותו; מושגים, יחסים ופונקציות שייכים לעולם ומצויים בו, בדיוק באותה מידה שבה מצויים אובייקטים בעולם. אם אנו אומרים כי יופיטר גדול ממרס, הרי שהיחס הזה תופס בין ההתייחסויות של המילים "יופיטר" ו"מרס" ולא בין משמעויותיהן, ולפיכך מן ההכרח שיחס זה של "גדול מ-" יהיה יחס השייך לעולם, כפי שכוכבי-הלכת עצמם שייכים לעולם. עם זאת, אין להתעלם מכך שיחס זה הוא ישות מסוג אחר לגמרי; אם ביטוי מסויים עומד במקום מושג או יחס, הרי שאין הוא יכול לעמוד במקום אובייקט ובאמת אין כל טעם לנסות אפילו לטעון על מושג את אשר אפשר לטעון אודות אובייקט, או להיפך. בכל זאת, אנו מדברים אודות מושגים: אם אני אומר "אלוהים קיים", אין אני מייחס תכונה לאובייקט מסויים; אני מדבר על סוג מסויים של דברים, על תכונה או על מושג ואני מאפיין אותם על-ידי משהו שיש טעם לייחסו רק לתכונה, היינו, אני אומר שקיים משהו שהוא בעל אותה תכונה. את הקביעות המוסבות על מספרים יש להבין באותה דרך; המשפט "ישנם שלושה עצים בגן" אומר משהו אודות המושג עצים בגן, ואין להבינו כקביעה המוסבת על אובייקט.

אם רצוננו להבין את טבעם של המושגים ושל היחסים, עלינו להתייחס אל הפונקציות המתמטיות. המספר 4 הוא פונקציה מסויימת של המספר 2, היינו ריבועו, אך הוא בעצמו אינו הפונקציה הזאת. בעצם אין אנו יכולים להתייחס אליו כאל פונקציה מבודדת; הבידוד אפשרי רק לגבי מספרים מיוחדים שהם-הם הפונקציה של מספרים מסויימים אחרים. פרגה מתייחס אל מושגים ואל יחסים כאל מקרים מיוחדים של פונקציות, באשר הוא סובר שלמשפט בתורת כוליות יש התייחסות, היינו ערך-אמת משלו; יוצא איפוא שמושגים ויחסים הם פונקציות שערכיה הם תמיד אמת או כזב. תורה זו מציעה פתרון מנקודת ראות חדשה למחלוקת הישנה-נושנה בין נומינליסטים לבין ריאליסטים. לדעת פרגה, הצבע האדום, למשל, הוא אובייקט של ממש, המהווה את התייחסותו של שם-העצם "אדום"; ברם, הוא איננו יכול להיות ההתייחסות של תואר-השם "אדום" ולפיכך אין הוא מרומז במשפט כגון "תות-השדה הוא אדום".

במסגרת מערכתו הצורנית של פרגה מוליכה תורה זו להבחנה חמורה בין טיפוסי פרדיקאטים, אך קבוצות נחשבות כאובייקטים (ישויות מן הטיפוס הנמוך ביותר). זוהי הדגמה של התלות ההדדית בין פילוסופיית הלוגיקה של פרגה לבין המערכת הצורנית שלו. יש לבנות מערכת צורנית כך שתשקף אל נכון את תכונותיה המהותיות של השפה (זאת היתה תשובתו של פרגה לטענתו של פיאנו (Peano), שסימן הקביעה (assertion sign) שלו מיותר מנקודת ראות צורנית). עם זאת אין להסיק מכאן שמערכת צורנית חייבת להעתיק את השפה הטבעית; השימוש במשתנים ובכמתים, למשל, פותר את בעיית הכלליות לא על-ידי מתן הסבר עקיב לכל הביטויים שמשתמשים בהם בשפה הטבעית לציון כלליות, אלא על-ידי המצאת אמצעי חדש לחלוטין (דומה כי תורת-הכימות היא מועמדת נאותה יותר לשם "הדגם של הפילוסופיה" מאשר תורת התיאורים של רסל). השפה הטבעית עשוייה שלא להיות עקיבה ואפשר לבקרה על כך; פרגה רואה איפוא בעובדה שאפשר ליצור ביטויים פרטיים בעלי משמעות אך חסרי התייחסות, פגם של השפה הטבעית. התביעה ליצירתה של שפה אידיאלית מקורה ברעיונותיו של פרגה.

ב-1893 וב-1903 פירסם פרגה שני כרכים של יצירת-חייו "חוקי-היסוד של האריתמטיקה" (Die Grundgesetze der Arithmetik), שבהם הוא בונה את האריתמטיקה מתוך תורת-ההגיון באמצעות הסמלים הלוגיים שלו. התורה המוצעת בספר זה מכילה את מה שקרוי "תורת-הקבוצות התמימה", היינו, את ההנחה שלגבי כל תכונה קיימת קבוצה שאבריה הם בדיוק אותם אובייקטים בעלי התכונה שבה מדובר. זמן קצר לפני פירסום הכרך השני של הספר, כתב רסל אל פרגה והצביע על הסתירה שגילה ב"תורת-הקבוצות התמימה". פרגה הוסיף בחיפזון נספח לספר, שבו ניסה להסביר כיצד ניתן להימנע מן הסתירה על-ידי החלשת אחת מן האכסיומות שלו. ליסנייבסקי (Lesniewski) הוכיח מאוחר יותר שאף החלשה זו מובילה לסתירה, אך כפי הנראה שפרגה עצמו לא ראה את הסתירה הזו; מכל מקום, רבות מן ההוכחות שהוצעו על-ידי פרגה לא יכלו לעמוד במבחן הביקורת לאחר קבלת האכסיומה החלשה יותר, ופרגה התייאש מלכתוב את סיפרו מחדש ומלהשלים אותו. באחרית ימיו הגיע פרגה למסקנה שכל תורת-הקבוצות וכל הניסיונות לגזור את האריתמטיקה מתורת-ההגיון בטעות יסודם. עבודותיו לאחר שנת 1903 אינן בדרך כלל בעלות חשיבות, וקרוב לוודאי שאף לא עקב אחרי העבודה שנעשתה בנושא שהוא עצמו יסד אותו. מעניין לציין כי בחייו לא העריכו אותו במיוחד. ממצאיו הועברו אל לוגיקנים אחרים באמצעות כתביהם של פיאנו (Peano), רסל (Russell) ןוייטהד (Whitehead). רק דדקינד (Dedekind), זרמילו (Zermelo) ורסל העריכו אותו בחייו כראוי. יצירותיו של פרגה עצמו לא היו ידועות בקרב הפילוסופים, אף-על-פי ששלושה פילוסופים בולטים הושפעו ממנו: הוסרל, רסל וויטגנשטיין. ההתעניינות בעבודתו של פרגה גברה מאוד בימינו. לוגיקנים רבים מודים בחשיבות יצירתו ואחרים כגון צ'רץ' (church), קרנאפ (Carnap) וקווין (Quine) הושפעו ממנו ישירות. הודות לעובדה שרעיונות עיקריים רבים משל ויטגנשטיין מקורם בתורתו של פרגה, התחילו פילוסופים אמריקאיים ואנגליים רבים להתעניין ולעיין בכתביו. דומה כי הישגו הפילוסופי הגדול ביותר של פרגה הוא בכך (וויטגנשטיין המשיך את דרכו במובן זה), ששלל את המסורת הקרטסיאנית, הסוברת כי ראשיתה של הפילוסופיה היא בתורת-ההכרה, ותחת זאת קבע, כי ראשיתה של הפילוסופיה היא דווקא בתורת-ההגיון הפילוסופית.

* העורך הוא פרופסור לפילוסופיה באוניברסיטאות פרינסטון ואוכספורד.

ביבליוגרפיה:
כותר: פרגה גוטלוב
שם  הספר: פילוסופיה
מחבר: יורמסון, ג'. או. (פרופ')
עורכי הספר: שרפשטיין, בן עמי  (פרופ') ; יורמסון, ג'. או.  (פרופ')
תאריך: 1967
הוצאה לאור: פרידמן, ש.
הערות: 1. עורך המהדורה העברית: פרופ' בן עמי שרפשטיין.
2. עורך המהדורה הלועזית : פרופ' יורמסון, הוא פרופסור לפילוסופיה באוניברסיטאות פרינסטון ואוכספורד.
3. סדרה אנציקלופדית ''אופקים חדשים''.
הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית