עמוד הבית > מדעי כדור-הארץ והיקום
ישראל. משרד הביטחון


תקציר
קוסמולוגיה היא ענף של אסטרו-פיסיקה שמטרתו להבין את מבנה היקום. המאמר מביא דוגמאות לשאלות ולהנחות בהם עוסקת הקוסמולוגיה. מהי מהירות האור? מהו פרדוכס של אולברס? ומדוע הלילה אפל?



מדוע הלילה אפל?
מחבר: פרופ' גיורא שביב


קוסמולוגיה היא ענף של אסטרו-פיסיקה שמטרתו להבין את מבנה היקום. איננו מתענינים כרגע בשאלות על המבנה של חלקים קטנים של היקום, כמו למשל כדור-הארץ, השמש, כוכבים, גלקסיות וכן הלאה. מטרתנו היא להבין את היקום כולו יחד; כיצד כלל הגלקסיות, וכלל הכוכבים פועלים יחדיו.

נפתח בשאלה פשוטה, ששאל רופא גרמני בשם אולברס, באמצע המאה ה-18. הוא שאל: מדוע הלילה אפל? כולנו מכירים את התשובה הפשוטה שהרי ביום השמש זורחת, ויש אור ובלילה השמש שוקעת והכוכבים אינם מספקים די אור להאיר את הלילה. מסתבר שתשובה פשטנית זו אינה נכונה, ויש מקום לשאלה של אולברס מדוע הלילה אפל?

נניח את ההנחות הבאות, כפי שהניח אותן אולברס. הנחה ראשונה: כל הכוכבים זהים בעוצמת ההארה הטבעית שלהם. אמנם כוכבים יכולים להיות קרובים ורחוקים, ולכן עוצמת ההארה נראית לנו שונה - כוכב קרוב נראה בהיר יותר ואילו כוכב רחוק נראה חלש יותר - אך אם נעמיד את כל הכוכבים במרחק שווה מאיתנו, עוצמת ההארה שלהם תהיה זהה. הכוכבים מהווים דבר-מה הקרוי בשפה המקצועית מקורות אור סטנדרטיים, כאילו כולם נורות בנות 100 ואט; כל הנורות בנות 100 ואט מאירות באותה מידה, כאשר נמצאים במרחק שווה מהן.

אם נסתכל בשמים, נמצא שלכוכבים שונים יש צבעים שונים. קיימים כוכבים אדומים או כחולים; אך הצבע אינו קשור לנושא שלנו ולכן נוסיף ונתעלם מתופעה זו. נחזור רק על ההנחה הראשונה שלכל הכוכבים עוצמת הארה זהה.

הנחה שניה: כל היקום זהה והומוגני מבחינת מספר הכוכבים. אין ביקום מקומות שמספר הכוכבים בהם רב יותר או מועט יותר. אם ניסע מכדור-הארץ למרחק גדול מאד ונסתכל סביב, נראה תמיד את אותם הכוכבים וגם מספר הכוכבים שנראה ברקיע יהיה זהה. במלים אחרות: היקום הומוגני וכל נקודה בו דומה לכל הנקודות האחרות. כדור הארץ, לצערנו, אינו תופס בו מקום מיוחד: אף הוא מקום ככל האחרים.

הנחה שלישית: היקום אין-סופי. ככל שנתרחק מכדור-הארץ, נמשיך ונראה בדיוק את אותה התמונה, כל הזמן וללא כל שינוי. היקום נמשך למרחק אין-סופי.

הנחה רביעית ואחרונה: היקום תמיד היה ותמיד יהיה; לא היתה ליקום התחלה, ואין ליקום סוף.

בעזרת הנחות אלה ננסה לחשב בצורה פשוטה את סך-הכל כמות האור שכל הכוכבים ביקום נותנים לכדור-הארץ. להפתעתנו הרבה, נראה שהשאלה הפשוטה לכאורה, שהציג אולברס, מעלה סימני שאלה רבים.

כיצד נעשה את החישוב? נתחום כדור ברדיוס כלשהו סביב כדור הארץ; נוסיף, ונעטוף את הכדור הזה בכדור שני, קצת יותר גדול. נבחן עכשיו את הנפח של הקליפה שבין שני הכדורים, וננסה לחשב את מספר הכוכבים בתוך אותה קליפה.

אפשר לדמות את הדבר לתפוח-זהב עטוף קליפה, ונפח הקליפה הוא המעניין אותנו. אפשר לומר שנפח הקליפה שבין שני הכדורים שווה לשטח הפנים של הכדור, כפול עובי הקליפה עצמה. אם ניקח קליפת תפוח זהב, נפרוס ונפתח אותה, אזי השטח הכללי שהיא תופשת שווה בעצם לשטח הפנים של תפוח-הזהב, ואילו העובי הוא אותו עובי של קליפת התפוז.

כמובן, עלינו להתעלם מן הקושי בפריסה מעטפת כדור על-פני מישור, בעיה הידועה מהנסיונות לצייר את מפת כדור-הארץ על פני מישור. גם אם נתעלם מקושי זה, עדיין נוכל לקבוע שהנפח שבין שני כדורים שווה לשטח הפנים של הכדור, כפול עוביו. מספר הכוכבים באותו נפח יהיה שווה לצפיפות הכוכבים שהיא כך וכך כוכבים לקילומטר מעוקב, או ביחידות האסטרונומיות הרגילות, כך וכך כוכבים לשנת-אור מעוקבת.

עלינו לזכור ששנת-אור היא המרחק שעוברת קרן אור במשך שנה תמימה. מהירותה של קרן אור היא, במספר עגול, 300,000 ק"מ בשניה. כדי לקבל את המרחק של שנת-אור, נכפיל את המהירות הזאת במספר השניות בשעה ואחר-כך נכפיל את מספר השעות ב-24, נקבל את מספר השעות ביום, ואת המספר הזה נכפיל ב-365, כמספר הימים בשנה. אפשר לחשב בקלות ולמצוא שמספר השניות בשנה הוא בערך 3.2 כפול עשר בשביעית. 3.2 כפול 10 מיליון. אם נכפיל את מספר השניות האלה ב-300,000 ק"מ בשניה, נקבל כמה קילומטרים יש בשנת-אור אחת.

אופן החישוב של הפרדוכס של אולברס. מניחים שהיקום איזוטרופי ומלא כוכבים. הפרדוכס מתקבל על-ידי חישוב סה"כ הכוכבים בין שני כדורים קונצנטריים וחישוב התרומה של כוכבים אלה לסה"כ ההארה על פני כדור-הארץ. המרחק בין הכדורים הקונצנטריים מספיק גדול, כך שמספר הכוכבים הכלול בתווך שבין שני כדורים אלו יהיה גדול אף הוא. מאחר והיקום משתרע לאין-סוף (לפי ההנחות של אולברס) ניתן תמיד להגדיל את הרדיוס של הכדורים כך שתנאי זה יתקיים.

כדי לתת דוגמה על המשמעות של מהירות האור, נעזר במהירות גלי הרדיו, השווה למהירות האור, כלומר - 300,000 ק"מ בשניה. מאזין היושב בשורה האחרונה באולם הקונצרטים, ישמע את הצלילים אחרי אדם היושב בבית, ושומע את הקונצרט דרך הרדיו, בשידור חי, גם אם הוא נמצא בצדו השני של העולם. המאזין היושב בשורה האחרונה באולם שומע את הקונצרט בעזרת גלי קול, שמהירותם בסך-הכל 300 מ' בשניה, ואילו האדם בבית שומע את הקונצרט במהירות גלי הרדיו, השווה למהירות האור, והיא 300,000 ק"מ לשניה.

כאמור, מספר הכוכבים נמדד בדרך כלל במספר הכוכבים לשנת אור מעוקבת, או במילים אחרות שנת-אור בשלישית.

חשוב שנזכור, כי בקליפה שבין שני הכדורים, שאת נפחה תארנו זה עתה, יש מספר כוכבים מסוים, שניתן על-ידי הביטוי הבא: מספר כוכבים לבחינת נפח, כפול הנפח עצמו. הנפח ניתן על-ידי שטח הפנים של הכדור, כפול העובי. אם רדיוס הכדור הוא R, אזי שטח הפנים ניתן על-ידי R2, (רדיוס בריבוע). כאשר ניקח את היקום ונחלק אותו לקליפות-קליפות, נמצא שבכל קליפה יש מספר כוכבים, שניתן לחשבו על ידי מכפלה של שטח הפנים של הקליפה בעוביה. למען נוחות הדיון נניח שעובי כל הקליפות זהה.

ובכן, מספר הכוכבים ילך ויגדל מקליפה לקליפה, ככל שהקליפה מרוחקת מאתנו. מאחר ושטח הפנים של הקליפה גדל כמו הרדיוס בריבוע, כך ילך ויגדל גם מספר הכוכבים לפי הרדיוס בריבוע. עתה עלינו לחשב את סך-הכל עוצמת האור שהכוכבים בקליפה נתונה נותנים על-פני כדור-הארץ. ובכן, נניח שיש לנו כוכב נתון במרכזו של כדור. עתה נראה איך אור הכוכב נופל על שטח הכדור. כאשר ניקח ונקיף את הכוכב בכדור קטן, כל אורו של הכוכב יפול על כל שטח הכדור; מאחר ושטח הכדור קטן, עוצמת ההארה גדולה. אם נגדיל את הרדיוס של הכדור, כלומר, ניקח כדור ברדיוס גדול יותר סביב הכוכב, עדיין נכון הדבר שכל אורו של הכוכב יפול על פני הכדור. אך מאחר ושטח הכדור יותר גדול, עוצמת האור הנופלת על פני שטח נתון של הכדור, יותר קטנה.

במלים אחרות, ככל שמעטפת הכדור יותר ויותר גדולה, עוצמת האור הנופלת עליה ליחידת שטח הולכת וקטנה, אבל סך-הכל האור שנופל על הכדור נשאר קבוע. אם כך, נוכל לקבוע, שעוצמת ההארה של מקור אור, אם מדובר בפנס, כוכב או שמש, הולכת ויורדת ככל ששטח הכדור העוטף אותו הולך וגדל. כיוון ששטח הכדור, העוטף את מקור האור, גדל עם המרחק בריבוע, נקבל שעוצמת ההארה של מקור האור, יורדת עם המרחק בריבוע.

נחזור עכשיו לחישוב עוצמת ההארה של כוכבים, הנמצאים בין שתי קליפות. ובכן, מסביב לכדור-הארץ, במרחק די גדול, מצויות שתי קליפות כדוריות בעלות עובי מסוים. אמרנו שמספר סך-הכל הכוכבים בין שתי הקליפות, נתון על-ידי הצפיפות, משמע, סך-הכל כוכבים ליחידת נפח, כפול הנפח שבין שתי הקליפות. הנפח ניתן על-ידי שטח הפנים של הכדור, כפול עובי הקליפה.

עוצמת ההארה של כל כוכב כזה, על פני כדור-הארץ, ניתנת על-ידי עוצמת ההארה הטבעית שלו, מחולקת למרחק בריבוע, כלומר, אותו רדיוס בריבוע. אם ניקח קליפה אחת, הרי מספר הכוכבים יגדל על פי המרחק בריבוע, בגלל גידול הנפח; לעומת זאת, עוצמת ההארה של כל כוכב, יורדת עם המרחק בריבוע. ולכן, המכפלה של עוצמת ההארה כפול מספר הכוכבים היא גודל קבוע, שאינו תלוי במקום הקליפה.

אם ניקח קליפה רחוקה יותר ונגדיל את הרדיוס פי שניים, אזי שטח הכדור גדל פי ארבעה, כי הוא גדל עם הרדיוס בריבוע, ומספר הכוכבים התורם אור גדל פי ארבעה. אבל, מאחר והתרחקנו פי שניים, עוצמת ההארה של כל כוכב יורדת פי ארבעה. מאחר ומספר הכוכבים גדל פי ארבעה, אך עוצמת ההארה על-פני כדור-הארץ ירדה פי ארבעה, המכפלה של גדול פי ארבעה כפול הקטנה פי ארבעה, משאירה את המצב, ביסודו, ללא שינוי.

אנחנו מקבלים שהתרומה של כל קליפה לאור על פני כדור-הארץ קבועה, ואיננה תלויה כלל במרחק הקליפה מכדור-הארץ.

אחר שעשינו את החישוב המסובך הזה, הדרך פשוטה למעשה. מכאן ואילך אפשר להבין הכל ביתר קלות.

קבענו, שאחת מהנחות היסוד שלנו היא שהיקום הוא אין-סופי. ניקח קליפה אחת, ונחבר את עוצמת האור שלה, לעוד קליפה, ועוד קליפה וכך הלאה, לאין-סוף קליפות; מאחר והיקום הוא אין-סופי יש לנו אין-סוף קליפות. מאחר ויש לנו אין-סוף קליפות, וכל קליפה תורמת אותה עוצמת הארה, עלינו להגיע למסקנה, כמו אולברס, שבעצם הלילה צריך היה להיות בהיר ואין שום סיבה שהלילה יהיה חשוך. מסקנה מדהימה זו קרויה בשם "הפרדוכס של אולברס". הפרדוכס הזה מראה שבעצם כל היקום, גם זה המרוחק מאתנו אלפי שנות-אור, חייב להשפיע על חיינו כאן. אם אנו רוצים להבין איך היקום בנוי ואנו מניחים את ההנחות הפשוטות האלו, כמו למשל, שכל היקום זהה, שהיקום הומוגני, שכל נפח ביקום נראה באותה צורה, ושהיקום אין-סופי, עלינו להגיע למסקנה הבלתי נמנעת, שהלילה היה צריך להיות מואר, לפחות כמו היום. השמש היא מקור אור קצת קרוב יותר, במקרה בלבד.

בהמשך נראה שעם התפתחות האסטרו-פיסיקה והאסטרונומיה, הפרדוכס של אולברס הביא להבנה עמוקה יותר של מבנה היקום; כמו כן נראה את מהותו של הקשר האינטימי שבינינו - יושבי כדור-הארץ - לשאר היקום.

ביבליוגרפיה:
כותר: מדוע הלילה אפל?
שם  הספר: קוסמולוגיה : פרקים נבחרים במבנה היקום
מחבר: שביב, גיורא (פרופ')
תאריך: 1978
בעלי זכויות : ישראל. משרד הביטחון
הוצאה לאור: ישראל. משרד הבטחון. ההוצאה לאור
הערות: 1. ספריית "אוניברסיטה משודרת".
2. עורך הסדרה: יואל רפל
3. עורכת השידורים בגלי צה"ל: תרצה יובל.
4. יועץ אקדמי: פרופ' חיים שקד.
הערות לפריט זה: 1. המאמר הוא פרק א' בספר.
הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית