E=mc²

"c" שונה מכל מה שבחנו עד כה. "E" משויכת לתחומן הכביר של האנרגיות, ו-"m" - לחומר הגשמי של העולם. אך "c" היא פשוט מהירות האור.

הסיבה שדווקא אות זו מסמלת את מהירות האור היא כנראה מחווה לתקופה שלפני אמצע המאה ה-17, כאשר המדע התרכז באיטליה, ולטינית היתה השפה המדוברת: המילה celeritas בלטינית פירושה "מהירות".

פרק זה יבחן מדוע החלה "c" למלא תפקיד חשוב כל-כך ב-E=mc²: כיצד דווקא מהירות זו - העשויה להיראות כמספר שרירותי - יכולה לשלוט בקשר בין כל המסה וכל האנרגיה בעולם.

זמן רב נחשבה מדידתה של מהירות האור משימה בלתי אפשרית. כמעט כולם היו משוכנעים שהאור נע במהירות אינסופית. אך אם כך היו פני הדברים, מהירות האור לעולם לא היתה יכולה לשמש במשוואה מעשית. לפני שהיה אפשר להתקדם - לפני שאיינשטיין היה יכול אפילו לחשוב על שימוש ב-"c" - היה מישהו צריך להוכיח שהאור נע במהירות סופית. אך זו לא היתה משימה פשוטה.

גלילאו היה הראשון שחשב ברצינות למדוד את מהירות האור, זמן רב לפני שהושם במעצר בית, לעת זקנה, כשכבר היה כמעט עיוור. אך עד שפרסם את תכניתו כבר היה זקן מכדי לבצע את הניסוי בעצמו, והאינקוויזיציה נתנה הוראות ברורות להגבלת צעדיו. שנים מספר לאחר מותו, כשחברים באקדמיה ללימודים ניסיוניים בפירנצה באו לשמוע על עבודתו, הם הודיעו שיבצעו בעצמם את התצפיות שהציע.¹

הרעיון היה פשוט, ככל עבודותיו של גלילאו. שני מתנדבים נשלחו לעמוד בערב קיצי אחד על שתי גבעות המרוחקות זו מזו מייל אחד, ולהחזיק בידיהם עששיות. הם נדרשו לפתוח את תריסי העששיות שלהם זה אחר זה, ואז למדוד בכמה זמן האור חוצה את העמק.

הרעיון היה טוב, אך הטכנולוגיה של אותה העת היתה נחשלת מכדי להפיק תוצאות ברורות. בניסויים אחרים הקפיד גלילאו על נשימות סדירות, כדי לא להאיץ את קצב הלב - הדופק שימש אותו למדידתם של מרווחי זמן קצרים. אך באותו ערב, כנראה בגבעות המקיפות את פירנצה, התברר למתנדבים שהאור מהיר מדי. כל מה שראו היה טשטוש מהיר, תנועה שנראתה מידית. היה אפשר לראות בכך כישלון, ורוב האנשים ראו בכך הוכחה נוספת למהירותו האינסופית של האור. אך אנשי פירנצה לא קיבלו את הטענה כי רעיונותיו של גלילאו שגויים. האקדמיה הסיקה אפוא שהשאלה תישאר פתוחה עד שמישהו בדורות הבאים ימצא דרך לתזמן את ההבזק המהיר הזה.

ב-1670, כשלושה עשורים לאחר מותו של גלילאו, ב-1642, הגיע לפריס ז'אן-דומיניק קסיני (Cassini), כדי להתחיל לעבוד כמנהלו של מצפה הכוכבים החדש בעיר. הוא נדרש לפקח על בניית בניינים חדשים רבים, ולעתים היה אפשר לראותו עושה זאת ברחוב (אגב, לא הרחק מצלליו של כלא פורט ליבר, במקום שבו ימתין לבואזיה למותו במאה הבאה). אך משימתו החשובה ביותר היתה לעורר מתרדמתו את המדע הצרפתי. היה לו גם תמריץ אישי לגרום למוסד החדש שיצליח, שכן שמו האמיתי לא היה ז'אן-דומיניק, אלא ג'ובני דומניקו. והוא לא היה צרפתי, אלא מהגר שהגיע זה לא כבר מאיטליה; ואף-על-פי שהמלך עמד לצדו, והמימון היה מובטח לכאורה, איש לא ידע עד מתי זה יימשך.

קסיני שלח שליחים למצפה הכוכבים הנודע של אורניבורג, על אי במצרים הדניים לא הרחק מטירת אלסינור. משימתם היתה לקבוע את הקואורדינטות של אורניבורג, ולסייע בכך במדידתם של מרחקי ניווט. משימתם המשנית היתה לגייס חוקרים מיומנים ממצפים אחרים. טיכו ברהה (Tycho Brahe), מייסדו של מצפה אורניבורג, ביצע תצפיות ששימשו בסיס לעבודותיו של קפלר, ואפילו של ניוטון. הוא גם יצר שם מותרות יוצאי דופן: במצפה היו עצים אקזוטיים, גנים עם תעלות מלאכותיות ובריכות דגים סביב הטירה המרכזית, מערכת תקשורת מרשימה, דמוית אינטרקום, ומכונות אוטומטיות מסתובבות שהחרידו את הכפריים המקומיים; אף נפוצו שמועות שיש שם בית-שימוש עם הדחה אוטומטית.

ז'אן פיקר (Picard), יד ימינו של קסיני, הפליג מקופנהגן לאורניבורג ב-1671. העובדה שיראה סוף-סוף את המבצר המפורסם עוררה בו התרגשות - אך כשראה שהוא הרוס לחלוטין נחל אכזבה קשה.

הממצאים המתוחכמים שהרשימו את קפלר התקבלו כמעט מאה שנים קודם לכן. מייסדו של המצפה היה אדם רב עוצמה, אך עם מותו לא החליפו איש. כשהגיע לשם פיקר התברר לו שהכול הרוס ורקוב: בריכות הדגים התמלאו באדמה, והקוודרנטים וגלובוס השמים נעלמו זה מכבר; היה אפשר לזהות רק כמה מאבני היסוד של המבנה הראשי.

פיקר ביצע בכל זאת את החישובים שלשמם הגיע לשם, וגם הצליח להביא לפריס דני מבריק בן עשרים ואחת ושמו אולה רמר (Ole Roemer). אחרים היו נוהגים אולי בצניעות בפוגשם את קסיני הגדול, שכן היה מומחה עולמי לכוכב הלכת צדק, ובמיוחד למסלולי ירחיו. אך אף-על-פי שכיום דנמרק נחשבת אומה קטנה, באותם ימים ניהלה אימפריה שהשתרעה על פני חלקים ניכרים בצפון אירופה. רמר היה גאוותן לא קטן - מספיק כדי לנסות לקנות לו שם משלו.

ספק אם קסיני היה מרוצה במיוחד מן הצעיר היומרני. עבר זמן רב עד שהעז לשנות את שמו מג'ובני דומניקו לז'אן-דומיניק. הוא צבר אינספור תצפיות מפורטות על ירחיו של צדק, וודאי התכוון להשתמש בהן כדי לשמר את המוניטין העולמיים שיצאו לו. אך מה יהיה אם רמר ישדוד את ממצאיו ויוכיח שהמסקנות שהסיק מהם קסיני שגויות כולן?

האפשרות הזו עלתה בשל בעיה שהתעוררה בעניינו של איו - הירח הפנימי ביותר של צדק. איו היה אמור להקיף את כוכב הלכת שלו אחת ל-42.5 שעות, אך מעולם לא עמד בלוח הזמנים. לעתים היה קצת יותר מהיר, ולעתים קצת יותר איטי. איש לא הצליח לזהות תבנית קבועה כלשהי בתנועתו.

אך מדוע? כדי לפתור את הבעיה התעקש קסיני לבצע עוד ועוד מדידות וחישובים. המאמץ היה עלול להתיש את מנהל המצפה, לחייב גיוס נוסף של אנשי צוות וציוד, כמו גם מימון וחסות, וכמו כל להיות כרוך בחשיפה ציבורית מביכה.² אך אם היה זה חיוני, היה אפשר לעשות זאת. רמר, לעומת זאת, סבר שמיותר לערוך את כל המדידות המורכבות שרק מנהלים בגיל העמידה מסוגלים לבצע. מבחינתו נדרשו רק הברק וההשראה שיכול לספק שכלו של צעיר זר.

וזה מה שרמר עשה. כולם - אפילו קסיני - הניחו שהבעיה קשורה באופן תנועתו של איו במסלולו. אולי היה מסורבל והתנודד במסלולו; ואולי הסתירו עננים או הפרעות אחרות סביב צדק את איו באופן לא אחיד. רמר הפך את הבעיה על פיה. קסיני צפה באיו, ותצפיותיו העלו שמשהו במסלולו אינו חלק. אך מדוע להניח שהפגם מצוי הרחק ליד צדק? רמר סבר שהבעיה אינה קשורה בתנועתו של איו.
היא קשורה במסלולו של כדור הארץ.

מבחינתו של קסיני היתה ההבחנה הזו חסרת כל ערך. פעם היה עשוי אולי לשקול אפשרות אחרת, אך כעת היה משוכנע כמו כולם שהאור נע בברק מידי. כל טיפש ידע זאת; הרי אפילו ניסויו של גלילאו לא העלה כל ראיה שתסתור זאת.

רמר התעלם מכל אלה. נניח - רק נניח - שלאור לוקח זמן מה לעבור את המרחק הרב מצדק. איזו משמעות תהיה לכך? רמר דמיין שהוא מקיף במבטו את מערכת השמש כולה, וצופה בהבזק הראשון של אורו של איו בשעה שהוא מגיח מאחורי צדק וממהר לכדור הארץ. בקיץ, לדוגמה, אם כדור הארץ יהיה קרוב יותר לצדק, דרכו של האור תהיה קצרה יותר, ודמותו של איו תופיע מוקדם יותר. בחורף של אותה שנה, לעומת זאת, כבר יעבור כדור הארץ אל צדה האחר של מערכת השמש. לאות של איו ייקח הרבה יותר זמן להגיע אלינו.

רמר עיין במצבורי התצפיות שעשה קסיני במרוצת השנים, ובשלהי קיץ 1676 כבר מצא את התשובה: לא סתם ניחוש, אלא מספר מדויק של הזמן הנוסף שבו עשה האור את המרחק הנוסף בין כדור הארץ לצדק.

מה היה עליו לעשות באשר לממצא? לפי כללי הפרוטוקול, הוא היה אמור להניח לקסיני להציג אותו כעבודתו שלו, ואולי להנהן כשמנהל המצפה יאמר שלא היה יכול לעשות זאת בלא עזרתו של האיש הצעיר הזה, שעוד יגיע רחוק.

רמר לא נהג כך. באוגוסט, בפורום הציבורי המכובד של כתב העת שקראו כל האסטרונומים הרציניים, החליט רמר לקרוא תיגר על קסיני. אסטרונומיה היא מדע מדויק, ואפילו המכשירים של המאה ה-17 די היה בהם לקבוע שהירח איו אמור להופיע מאחורי צדק בשעות אחר הצהריים המאוחרות של 9 בנובמבר. קסיני טען שאיו ייראה בשעה 17:27 באותו יום. זה מה שהסיק מן התצפית האחרונה על הירח, באוגוסט.

רמר הכריז שקסיני טועה. באוגוסט, הסביר, היה כדור הארץ קרוב לצדק. בנובמבר הוא יהיה רחוק יותר. ב-17:27 לא ייראה דבר - האור, למרות מהירותו הגדולה, עדיין יהיה בדרכו, משום שיהיה עליו לעבור מרחק נוסף. אפילו ב-17:30 או ב-17:35 עדיין לא יגיע מצדה האחר של מערכת השמש. רק ב-17:37 בדיוק יהיה אפשר לראות את איו לראשונה ב-9 בנובמבר.

יש דרכים רבות לשמח אסטרונומים. אחת מהן היא סופרנובה חדשה; חידוש של מענק ממשלתי הוא עוד דרך טובה; קביעות היא דרך מצוינת. אך מאבק גלוי בין שניים מעמיתיך המכובדים? גן עדן ממש. קריאת התיגר של רמר נבעה מגאווה, אך הוא גם ידע שקסיני הוא פוליטיקאי טוב הרבה יותר. רמר יוכל לזכות בקרדיט רק אם תחזיתו תהיה מדויקת כל-כך, עד שקסיני ומלחכי פנכתו לא יוכלו לחמוק מתוצאותיה בשום אופן.

התחזית הוכרזה באוגוסט. ב-9 בנובמבר הוכנו טלסקופים במצפי כוכבים בצרפת וברחבי אירופה כולה.
השעה 17:27 הגיעה. איו לא נראה.
17:30. איו עדיין לא נראה.
17:35.
ואז, בשעה 17:37 ו-49 שניות בדיוק, הוא הופיע.

וקסיני הכריז שלא הוכח כי טעה! (להטוטני תקשורת לא הומצאו בעידן הטלוויזיה.) לקסיני היו תומכים רבים, והם אכן תמכו בו. מי אמר בכלל שאיו אמור להופיע ב-17:27? לגרסתם, רק רמר טען כך. נוסף על כך, כולם ידעו שזמן הופעתו של איו אינו ודאי. הוא היה רחוק כל-כך, קשה כל-כך לצפייה, עד שאולי העננים באטמוספירה החיצונית של צדק יצרו אובך מעוות; או אולי הקשתה הזווית הגבוהה של מסלולו לבצע תצפית מדויקת. מי יודע?

על-פי התפיסה המקובלת של תולדות המדע, הדברים אינם אמורים להתרחש כך. הניסוי של רמר בוצע בלא דופי, והעלה תחזית ברורה. עם זאת, האסטרונומים של אירופה לא קיבלו את הטענה שהאור נע במהירות סופית. תומכיו של קסיני ניצחו: הקו הרשמי לא השתנה - מהירות האור היא מספר מיסטי שאי אפשר למדוד; ולא אמורה להיות לה השפעה כלשהי על מדידות אסטרונומיות.

רמר ויתר וחזר לדנמרק, והיה שנים רבות מנהלו של נמל קופנהגן. רק חמישים שנה אחר-כך - לאחר שחלף עוד דור וז'אן-דומיניק קסיני הלך לעולמו - שכנעו ניסויים נוספים את האסטרונומים שרמר צדק. הערך שאמד רמר באשר למהירות האור היה קרוב לאומדן הטוב ביותר שקיים היום – כ-300,000 ק"מ בשנייה (בעצם, המהירות המדויקת נמוכה במקצת, אך לצורך הנוחות נעגל אותה ל-300 אלף עד סוף הספר).

כדי להדגיש את גודלו של המספר - במהירות של 300,000 ק"מ בשנייה אפשר להגיע מלונדון ללוס אנג'לס בפחות מחצי עשירית השנייה. מכאן ברור מדוע לא היה אפשר למדוד את הזמן שבו חצה האור עמק בניסויו של גלילאו - המרחק היה קטן מדי.

הנה השוואה נוספת: הקול נע במהירות של 1 מאך - בערך 1,100 קמ"ש. בואינג 747 טס במהירות נמוכה מעט מ-1 מאך. מעבורת החלל, בתאוצה מרבית, מסוגלת לעבור מהירות של 20 מאך. האסטרואיד או כוכב השביט שביקע את קרקעית האוקיינוס והשמיד את הדינוזאורים פגע בכדור הארץ במהירות של כ-70 מאך.
המספר ש-"c" מבטא שווה ל-900,000 מאך.

למהירות אדירה זו יש תוצאות מוזרות רבות. אם מישהו משוחח בטלפון הסלולרי שלו במסעדה במרחק שולחנות ספורים מכם, נדמה לכם שאתם שומעים את קולו כמעט ברגע שהמילים יוצאות מפיו. אך האוויר נושא את גלי הקול רק במהירות מגוחכת של 1 מאך, ואילו גלי הרדיו הנורים מעלה מן הטלפון הסלולרי נעים מהר כאור. האיש בצדו האחר של הקו - גם אם יהיה במרחק מאות קילומטרים - ישמע את המילים לפני שיעברו את המטרים הספורים במסעדה ויגיעו אליכם.

כדי להבין מדוע בחר איינשטיין למשוואתו דווקא את הערך הזה, יש לבחון בדקדקנות רבה יותר את תכונותיו הפנימיות של האור. עתה נניח לתקופתם של קסיני ורמר ונשוב לסוף שנות ה-50 של המאה ה-19 - מעט לפני מלחמת האזרחים בארצות-הברית. באותה העת החל פרדיי - שכבר היה זקן למדי - להתכתב עם ג'יימס קלרק מקסוול (Maxwell), סקוטי צנום בשנות העשרים לחייו.

היו אלה ימים קשים לפרדיי. זיכרונו החל לבגוד בו, ולעתים קרובות לא היה מסוגל לעבור את הבוקר בלא פתקים מפורטים שיזכירו לו מה לעשות. וגרוע מכך, פרדיי ידע שהפיזיקאים הגדולים בעולם, שרובם ככולם כיהנו באוניברסיטאות הטובות ביותר, עדיין מתייחסים אליו בהתנשאות. הם קיבלו את התוצאות שייצרה המעבדה שלו, אך לא יותר. מבחינת הפיזיקאים הרגילים, זרם החשמל בחוט כפי שמים זורמים בצינור: הם האמינו שלאחר שינוסח התהליך כראוי מבחינה מתמטית הוא לא יהיה שונה ממה שיכלו לתאר ניוטון ויורשיו הרבים, ברוכי הכישרון במתמטיקה.³

ואילו פרדיי הוסיף לדבר על אותם מעגלים מוזרים ועל מסלולים מעוקמים אחרים שהיו פרי חינוכו הדתי. פרדיי טען שהאזור שסביב אירוע אלקטרומגנטי מלא ב"שדה" מסתורי, ושלחצים בתוך השדה יוצרים את מה שפורש כזרמים חשמליים וכדומה. הוא התעקש שלעתים כמעט אפשר לראות אותם, כמו בתבניות המעוקלות שיוצרים סיגי מתכת כשמפזרים אותם סביב מגנט. אך איש לא האמין לו, לבד - כעת - ממקסוול, אותו סקוטי צעיר.

במבט ראשון היה נדמה שמדובר בשני אישים שונים מאוד. בשנות המחקר הרבות שלו צבר פרדיי יותר מ-3,000 פסקאות של רישומים מתוארכים במחברתו - פרי ניסויים שהחלו מוקדם בכל בוקר. מקסוול, לעומת זאת, לא היה יכול להתחיל את יומו בשעות סבירות (מספרים שכאשר שמע שבאוניברסיטת קיימברידג' ייאלץ להתייצב לתפילה בשעה 6:00 מדי בוקר, נשם נשימה עמוקה ואמר, "טוב, אני מניח שאוכל להישאר ער עד שעה זו"⁴). מקסוול גם היה כנראה בעל אחד המוחות המתמטיים המבריקים ביותר בקרב הפיזיקאים התיאורטיים של המאה ה-19. פרדיי, לעומת זאת, התקשה לבצע פעולות מתמטיות מורכבות מחיבור וחיסור.

אך במישור עמוק יותר היה ביניהם קשר הדוק. אמנם מקסוול גדל באחוזת אצילים גדולה בסקוטלנד הכפרית, אך שם משפחתו היה עד לאחרונה סתם קלרק. רק ירושה ממשפחת אמו אפשרה להם לרכוש את השם מקסוול, המכובד יותר. כשנשלח ג'יימס הצעיר לפנימייה באדינבורו נטפלו אליו הילדים האחרים, שהיו חזקים ממנו וחדורי ביטחון עצמי שהקנתה להם העיר הגדולה. הוא סבל מכך שבוע אחרי שבוע, שנה אחרי שנה, אך לא הביע כל כעס; רק פעם אחת העיר בשקט: "הם מעולם לא הבינו אותי, אבל אני הבנתי אותם."⁵ גם פרדיי עדיין נשא בקרבו את פגעי ניסיונו עם סר המפרי דייווי בשנות ה-20 של המאה ה-19. אחרי כל הרצאה נלהבת לכאורה בערבים הפתוחים לקהל במכון המלכותי היה חוזר כמעט מיד אל בדידותו השקטה והמחושבת.

כשהתכתבו הסקוטי הצעיר והלונדוני הזקן, ולימים, כאשר נפגשו, התחברו בקשר מסוג שלא יכלו לחלוק כמעט עם איש. שכן מעבר לקורי הדמיון באישיותם, מקסוול היה מתמטיקאי מזהיר כל-כך, עד שהצליח לראות מה שהסתתר מעבר לפשטות החיצונית שברישומיו של פרדיי. חוקרים מוכשרים פחות לעגו למה שנתפס אצלם כילדותיות. ("ככל שהמשכתי לחקור את פרדיי, כך הבנתי ששיטתו... היתה מתמטית אף היא, אף-על-פי שלא באה לידי ביטוי בצורה המקובלת של סמלים מתמטיים."⁶) מקסוול התייחס ברצינות לרישומים הגסים של קווי כוח לא נראים. שניהם היו אנשים דתיים מאוד; לשניהם קסם מאוד הרעיון שאלוהים טבוע בעולם.

בפריצת הדרך שלו מ-1821 ובמחקרים רבים שעשה אחר-כך הראה פרדיי כיצד אפשר להפוך חשמל למגנטיות, ולהפך. בשלהי שנות ה-50 של המאה ה-19 הרחיב מקסוול את הרעיון הזה לכדי ההסבר המלא הראשון למה שגלילאו ורמר מעולם לא הבינו.

מקסוול החל להבין שמה שמתרחש בתוך אלומת אור הוא רק צורה אחרת של התנועה הנשנית הזו. חשבו, למשל, על קרן אור המתחילה להתקדם, והמייצרת מעט חשמל; כשהחשמל מתקדם הוא מייצר מעט מגנטיות, וכשהמגנטיות מתקדמת היא מניעה עוד נחשול של חשמל, וכך הלאה - כמו תנועת הצלפה של שוט קלוע.⁷ החשמל והמגנטיות מוסיפים לדלג זה מעל זה בקפיצות זעירות ומהירות - "חיבוק הדדי", בלשונו של מקסוול.⁸ האור הנחפז מעברה האחר של מערכת השמש שראה רמר, שמקסוול ראה אותו מנתר ממגדלי האבן בקיימברידג', היה רק רצף של קפיצות כאלה.

זה היה אחד משיאיו של המדע במאה ה-19; משוואותיו של מקסוול שסיכמו את התובנה הזו היו לאחד ההישגים התיאורטיים הגדולים בכל הזמנים.⁹ אך מקסוול תמיד היה מאוכזב מעט מעבודתו. שכן איך בדיוק קלע את עצמו גל האור המקפץ והמשונה הזה? הוא לא ידע. פרדיי לא ידע. איש לא הצליח להסביר זאת כראוי.

גאוניותו של איינשטיין באה לידי ביטוי בכך שבחן מקרוב את משמעותם של גלי האור המרצדים האלה, אף-על-פי שנאלץ לעשות זאת כמעט לבדו. הוא בטח ביכולתו: הכשרתו בשנים האחרונות בבית-הספר התיכון באראו היתה מצוינת, והוא גדל במשפחה שעודדה אותו לפקפק תמיד בסמכות. בשלהי המאה ה-19, כשאיינשטיין היה סטודנט, בדרך כלל נלמדו משוואותיו של מקסוול כאמת מוחלטת. אך המרצה הראשי של איינשטיין בפוליטכניון של ציריך, שלא התרשם במיוחד מתיאוריות פיזיקליות, סירב אפילו ללמד על מקסוול. (התרעומת של איינשטיין על היחס הזה גרמה לו שיכנה את המרצה הזה בלעג "הר ובר" במקום "הר פרופסור ובר". ובר נקם באיינשטיין על הזלזול הזה כשסירב לכתוב לו מכתב המלצה ראוי לשמו. כך התגלגל איינשטיין אל שנות הבידוד שלו במשרד הפטנטים.)

כשברח איינשטיין משיעורים אל בתי-הקפה של ציריך לקח אתו לא אחת את כתביו של מקסוול. הוא החל לחקור את הקפיצות של גלי האור שמקסוול חשף לראשונה. אם האור הוא גל ככל גל, חשב איינשטיין, האם אפשר להשיגו בריצה?

אפשר להדגים את הבעיה באמצעות גלישת גלים. כשאתם נכנסים למים בפעם הראשונה ומנסים לא לחשוף את חרדתכם בפני כל מי שנשארו בחוף, הגלים מתנחשלים מעליכם. אך אם אתם מאלצים את עצמכם לעמוד על הגלשן שלכם, תוכלו לגלוש אל החוף כשהגל שדוחף אתכם כאילו עומד מלכת סביבכם. אם תהיו די אמיצים - או די פזיזים - ותעשו זאת בגלים האדירים של הוואי, תתעקל מנהרת מים שלמה, בלא תנועה, סביבכם, מעליכם ולידכם.

רק ב-1905 הכתה באיינשטיין התובנה המלאה. גלי אור שונים מכל דבר אחר. גל מים של גולש עשוי להיראות נייח, משום שכל חלקיו שומרים על מיקום קבוע זה ביחס לזה. על כן אפשר להציץ מן הגלשן ולראות יריעת מים מרחפת. אך האור שונה. גלי האור מקיימים את תנועתם רק משום שכל חלק נע קדימה, וכך הוא מניע את החלק הבא (החלק החשמלי של גל האור מבליח קדימה, וכך "סוחט" החוצה את החלק המגנטי; החלק המגנטי שהתעורר יוצר "נחשול" נוסף של חשמל, וכך חוזר על עצמו תהליך המחזוריות הנחפזת). כל אימת שתחשוב שאתה נע במהירות גדולה דייה להשגת אלומת אור, תסתכל שוב ותגלה שהחלק שחשבת שהתקרבת אליו מניע חלק נוסף של אלומת האור שעדיין מתרחק ממך במהירות.

מי שמבקש להשיג כתם אור ולראותו עומד, כאילו אומר, "אני רוצה לראות את הפיתולים המטושטשים במופע לוליינות מלהיב, אך רק כשהכדורים אינם נעים." אי אפשר לעשות זאת. אפשר לראות את הכדורים מטושטשים רק כאשר הם נעים במהירות.

איינשטיין הסיק מכך שהאור יכול להתקיים רק כשגל אור מתקדם בפועל. זו היתה תובנה שהסתתרה בעבודתו של מקסוול ארבעים שנה, אך איש לא תפס אותה לפניו.

ההכרה החדשה הזו בדבר אופיו של האור שינתה הכול; משום שמהירות האור נהפכה להגבלת המהירות היסודית בעולמנו: אין דבר שיכול לנוע מהר יותר.¹⁰

קל לטעות בהבנת הרעיון. אם ננוע במהירות של 299,999 ק"מ בשנייה, האם לא נוכל ללחוץ עוד קצת על דוושת הגז, להאיץ ל-300,000 ק"מ בשנייה, ואחר-כך גם ל-300,001 ק"מ בשנייה - מעבר למהירות האור? התשובה היא לא, ואין זו תוצאה מקרית הנובעת מן הרמה הטכנולוגית הקיימת.

דרך טובה להבין זאת היא לזכור שאור אינו רק מספר, אלא תהליך פיזי. יש הבדל ניכר בין השניים. אם אומר ש-273- (מינוס 273) הוא המספר הנמוך ביותר, תוכלו לומר, בצדק, שאני טועה: 274- הוא מספר קטן יותר, 275- קטן עוד יותר, ואפשר להמשיך כך לעד. אך נניח שאנחנו עוסקים בטמפרטורות. טמפרטורה של חומר מודדת את תנועת חלקיו הפנימיים. אך בשלב מסוים החלקים פשוט מפסיקים לנוע - בערך ב-273- מעלות בסולם צלסיוס. על כן אומרים שטמפרטורה של 273- מעלות היא "האפס המוחלט". מספרים טהורים יכולים לרדת עוד, אך עצמים פיזיים אינם יכולים: מטבע או רכב שלג או הר אינם יכולים לנוע פחות מלא לנוע כלל.

וכך באשר לאור. המספר 300,000 ק"מ בשנייה שמדד רמר כמהירותו של האור המגיע מצדק מתייחס לאופיו של האור. מדובר ב"דבר" פיזי. אור תמיד יהיה הקפיצה המהירה של חשמל מתוך מגנטיות ושל מגנטיות מחשמל – תהליך בהול שמתרחק מכל מה שמנסה להשיגו. על כן מהירותו יכולה לשמש גבול עליון.

זוהי הבחנה מעניינת למדי, אך ציניקנים תמיד יוכלו לשאול, אז מה אם אכן יש הגבלת מהירות סופית? כיצד היא עשויה להשפיע על כל העצמים המוצקים הנעים בתוך העולם? אפשר להציב בצד הכביש תמרור: "אזהרה: אי אפשר להגיע למהירות גדולה מ-300,000 ק"מ בשנייה," אך התנועה החולפת על פניו לא תושפע מכך.

ואולי כן? בנקודה זו טיעונו של איינשטיין סוגר מעגל, ומראה שמאפייניו המוזרים של האור - העובדה שמעצם הווייתו הוא תמיד חומק ממך, ולפיכך משמש מגבלת המהירות המוחלטת - חודרים אל תוך טבען של האנרגיה והמסה. עיבוד של דוגמה שאיינשטיין עצמו השתמש בה יסייע לנו להראות כיצד הדבר עשוי להתרחש.

חשבו על מעבורת-על הטסה במהירות קרובה מאוד למהירות האור. בנסיבות רגילות, כשהמעבורת הזו נעה באיטיות, האנרגיה מן הדלק שנשאב למנועיה רק מגבירה את מהירותה. אך הדברים משתנים כשהמעבורת נמצאת ממש על גבול מהירות האור. היא אינה יכולה לנוע הרבה יותר מהר.

טייס המעבורת אינו מוכן לקבל זאת, ומתחיל לקפוץ בטירוף על המצערת כדי להניע את המעבורת מהר יותר. אך כמובן, הוא מוסיף לראות כיצד כל קרן אור הנעה לפניו בורחת במהירות המקסימלית - "c". זה מה שהאור עושה לכל צופה. למרות ניסיונותיו הנואשים של הטייס, המעבורת אינה משיגה את האור. אז מה קורה?

חשבו על תלמידי תיכון הנדחקים לתוך תא טלפון, פניהם מעוכים בעוצמה כנגד קירות הזכוכית. חשבו על בלון שמחוברת אליו משאבת אוויר אוטומטית שאי אפשר להפסיקה. הבלון יתחיל להתנפח הרבה מעבר לכל גודל שהועידו לו. כך יקרה גם למעבורת. המנועים שואגים מרוב אנרגיה, אך זו אינה יכולה להגביר את מהירות המעבורת, משום שדבר אינו יכול לנוע מהר יותר מהאור. אך האנרגיה גם אינה יכולה להיעלם.

התוצאה היא שהאנרגיה המוזרמת פנימה "נאלצת" ליהפך למסה. מבחוץ נראה שהמסה המוצקה של המעבורת מתחילה לגדול.¹¹ תחילה נראית התנפחות מועטה בלבד, אך ככל שנוסיף לשפוך פנימה אנרגיה, כך תגדל המסה. המעבורת תוסיף להתנפח.

זה נשמע מגוחך, אבל יש ראיות לכך. אם מתחילים להאיץ פרוטונים קטנים, שבמצב מנוחה יש להם "יחידה" אחת של מסה, תחילה הם רק נעים מהר יותר ויותר, כפי שהיה אפשר לצפות. אך ככל שהם מתקרבים למהירות האור, צופה מבחוץ אכן רואה אותם מתחילים להשתנות. מדובר באירוע רגיל למדי במאיצי החלקיקים שמחוץ לשיקגו ובמרכז האירופי לחקר הגרעין (CERN) שליד ז'נווה, ובכל מקום אחר שפיזיקאים עובדים בו. תחילה הפרוטונים "מתנפחים" ונהפכים לשתי יחידות של מסה - פי שניים ממסתם ההתחלתית - ואז לשלוש יחידות, וכך הלאה ככל שמוסיפים להזרים פנימה אנרגיה. במהירויות של 99.9997 אחוז מ-"c" הפרוטונים גדלים פי 430 מגודלם המקורי. (מתחנות כוח קרובות מתנקזות כמויות גדולות כל-כך של אנרגיה, עד שהניסויים העיקריים מתבצעים באישון לילה, כדי שתושבי הסביבה לא יתלוננו על התעמעמות האורות בבתיהם.)

מה שקורה הוא שאנרגיה המוזרמת אל תוך הפרוטונים, או אל תוך המעבורת הדמיונית שלנו, חייבת ליהפך למסה נוספת.¹² בדיוק כפי שקובעת המשוואה: ה-"E" יכולה ליהפך ל-"m", וה-"m" יכולה ליהפך ל-"E".

זה מה שמסביר את ה-"c" במשוואה. בדוגמה שלנו, ככל שמתקרבים למהירות האור כך מתבהר הקשר בין אנרגיה למסה. הסימול "c" משמש רק גורם המרה המסביר את פעולתו של הקשר.

כל אימת שמחברים שתי מערכות שהתפתחו בנפרד, נדרש גורם המרה כלשהו. כדי לעבור ממעלות צלסיוס לפרנהייט מכפילים את הטמפרטורה בצלסיוס ב-9/5, ואז מוסיפים 32. כדי לעבור מסנטימטרים לאינצ'ים יש כלל אחר: מכפילים את הסנטימטרים ב-0.3937.

גורמי ההמרה נראים שרירותיים, אר רק משום שהם קושרים מערכות מדידה שהתפתחו בנפרד. השימוש באינצ'ים, לדוגמה, החל באנגליה של ימי הביניים, והתבסס על גודלו של האגודל. אגודלים היו מכשירי מדידה ניידים מצוינים, שאפילו התושבים העניים ביותר יכלו לקחת לשוק. סנטימטרים, לעומת זאת, נעשו נפוצים כמה מאות אחר-כך, במרוצת המהפכה הצרפתית. סנטימטרים הם החלק המיליארד של המרחק בין קו המשווה לקוטב הצפוני, כשעוברים דרך פריס. אין פלא שאי אפשר ליישב בקלות בין שתי המערכות.

במשך מאות שנים נתפסו גם האנרגיה והמסה כדברים שונים לחלוטין. הן התפתחו בנפרד. אנרגיה נתפסה במונחים של כוח סוס או קילוואט-שעה; מסה נמדדה בפאונדים או בקילוגרמים או בטונות. איש לא חשב לחבר בין היחידות. איש לא העלה בדעתו את מה שראה איינשטיין, שיכול להיות מעבר "טבעי" בין אנרגיה למסה, כפי שראינו בדוגמת המעבורת, וש-"c" היא גורם ההמרה בין השתיים.

הקורא תוהה בוודאי מתי נגיע לתורת היחסות. התשובה היא שכבר השתמשנו בה! כל הרעיונות על המעבורת המאיצה ועל מסתה הגדלה חיוניים למה שפרסם איינשטיין ב-1905.

עבודתו של איינשטיין שינתה את שתי התפיסות הנפרדות שלקחו מדענים מחוקי השימור של המאה ה-19. האנרגיה אינה משתמרת והמסה אינה משתמרת, אך התוצאה אינה תוהו ובוהו. את מקומו של הכאוס תופסת אחדות עמוקה יותר, המחברת בין מה שקורה בתחום האנרגיה למה שקורה בתחומה הנפרד לכאורה של המסה. כמות המסה הנוספת מתאזנת תמיד על-ידי כמות מקבילה של אנרגיה שאובדת.

לבואזיה ופרדיי ראו רק חלק מן האמת. אנרגיה אינה עומדת לעצמה, וגם מסה. אך הסכום של מסה ואנרגיה תמיד נשאר קבוע.

זוהי ההרחבה האולטימטיבית של חוקי השימור הנפרדים שנתפסו כמושלמים במאות ה-18 וה-19. תוצאה זו היתה חבויה ולא משוערת לפני איינשטיין משום שמהירות האור גבוהה הרבה יותר מן התנועות הטיפוסיות שאנו רגילים אליהן. האפקט חלש במהירות הליכה, או אפילו במהירות של רכבות או מטוסי סילון, ובכל זאת הוא מתקיים. וכפי שנראה בהמשך, הקשר קיים בכל מקום בחיי היום-יום שלנו: כל האנרגיה מוחזקת בכוננות רוטטת אפילו בתוך החומרים הרגילים ביותר שסביבנו.

החיבור של אנרגיה ומסה באמצעות מהירות האור היה תובנה עצומה, אך יש להבהיר כאן עוד פרט. קריקטורה ידועה מראה את איינשטיין יושב ליד לוח ומנסה אפשרויות זו אחר זו: E=mc¹, E=mc², E=mc³... אך הוא לא באמת עשה זאת כך, ולא הגיע אל הריבוע של "c" במקרה.
מדוע אפוא גורם ההמרה הוא c²?

קראו עוד:

E (אנרגיה)
m (מסה)

הערות:

1. הצעתו של גלילאו נכללה בחלק "היום הראשון" של ספרו שני מדעים חדשים. את הניסוי עצמו עשתה יותר מעשרים שנה אחר-כך, כנראה ב-1660 בערך, האקדמיה דל צ'ימנטו בפירנצה. את התוצאות תמצאו בעמ' 158 בספר שמקומו של בית-ההוצאה שלו מצוין באופן שאינו מקובל עוד בהוצאות ספרים: Essayes of Natural Experiments, made in the Academie del Cimento; Englished by Richard Waller, Fellow of the Royal Society, London. Printed for Benjamin Alsop at the Angel and Bible in the Poultrey, over-against the Church, 1634.
2. מובן שאני מלגלג כאן מעט על קסיני. מן הראיות שבידינו עולה ההשערה שהיה חסר ביטחון, אך כיוון שהגיע לצרפת זה לא כבר היו לו סיבות מוצקות להיות חסר ביטחון: תחילה היה מינויו זמני בלבד, והוא הוזהר שלא לנסות לדבר צרפתית; אך אז הודיעו לו שהוא חייב ללמוד צרפתית, משום שאסור להכתים את האקדמיה למדעים בחשיפה ללטינית, שלא לדבר על שפת אמו - איטלקית. תיאור מאמציו הנפחדים של קסיני לפתח את כישורי השפה החיוניים - והגאווה לשמע המחמאה מפיו של המלך על התקדמותו הרבה בחודשים ספורים בלבד - נוגע ללב. היתה לו גם סיבה אישית לנטור לרמר: לו עצמו יצאו מוניטין בזכות תחזיות משופרות בנוגע למעבר (transit) ירחיו של צדק, שעליהן הכריז בפומבי עוד ביולי 1665. תחזיותיו של קסיני הוכחו באוגוסט ובספטמבר של אותה שנה, ומי שפקפקו בו הושפלו. בתמורה זכה במשרה הרמה בפריס. מובן אפוא מדוע לא העריך את ניסיונו של רמר להפעיל נגדו אותו תרגיל.
   הביקורת שלו על ביטחונו של רמר באשר לתצפיות של צדק חרגה מעלבון אישי גרידא. קסיני כתב שיר ארוך – "Frammenti di Cosmografia" - שהביע את ענוותנותו לנוכח גדולת החלל ואת אמונתו כי רק גאוות שווא לא מוצדקת מאפשרת לבני אדם, המבודדים על כוכב לכת אחד, לא חשוב, להניח שהם מסוגלים למדוד בדייקנות כל מה שמתרחש. עוד לפני שהגיע רמר, חישב קסיני אומדנים מסדר ראשון כדי לנסות להיפטר מן האי-סדירויות של איו; הוא נהג בכנות כשאמר שיהיה זה נמהר מדי להתעקש על פרשנות חדשה כלשהי. השיר והאוטוביוגרפיה החלקית שלו נמצאים בספר Mémoires pour Servir à I'Histoire des Sciences et à Celle de L'Observatoire Royal de Paris (Paris, 1810). את הספר ערך נינו של קסיני, שגם שמו היה ז'אן-דומיניק. ראו במיוחד עמ' 292 ו-321.
3. הצלחתו המאוחרת יותר של מקסוול גרמה להתעלמות מחוקרים אחרים בזמנו. ובר (Weber), מאוניברסיטת גטינגן, היה דמות מעניינת במיוחד, משום שגם הוא חישב את מהירות האור בניסיונו לקשר בין חשמל למגנטיות; אך המהירות שחישב הוסתרה על-ידי גורם נוסף של 2√, ועל כן לא זיהה מה שגילה וחדל מניסיונו. סיפורו של ובר מתואר היטב אצל M. Norton Wise, "German Conceptions of Force…" in Conceptions of Ether: Studies in the History of Ether Theories 1740-1900, eds. G. N. Cantor and M. J. S. Hodge (Cambridge: Cambridge University Press, 1981), pp. 269-307. זהירותו של ובר דומה לזהירות שנקט אמפר (Ampère), שקדם לוובר; משוואות הכלאיים שלו, שכמעט - רק כמעט - הגיעו אל עולם השדות המקסווליאני, מזכירות ספינת מלחמה ישנה שהועמסה כלאחר ייאוש בנשק נגד מטוסים.
4. חוששני שגם זה ציטוט מפוקפק. מה שברור - מקסוול אהב להתלוצץ על מנהגו להבין דברים כפשוטם; וכמו כן שבהיותו סטודנט בקיימברידג' ניסה להיות ער עד שעות מאוחרות ביותר, לתדהמתם והנאתם של חבריו. ראו, למשל: Martin Goldman, The Demon in the Aether, p. 62.
5. Ivan Tolstoy, James Clerk Maxwell: A Biography (Edinburgh: Canongate, 1981), p. 20.
6. James Clerk Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism (Oxford: Clarendon Press 1873) הקדמתו של מקסוול למהדורה הראשונה שלו, עמ' X.
7. השפה הפשוטה אינה מדויקת כאן, מטבעה, משום שבעצם אנו מתארים מאפיינים של שדות חשמליים ומגנטיים - מפרט של מה ש"אמור" להתרחש בכל נקודה נתונה. ההתניה הזו מקרבת אותנו לרעיון: אולי לא תוכלו לומר מה מתרחש ברגע מסוים בקרן רחוב מסוימת בשכונה גרועה, אך תוכלו לומר מה צפוי לתייר העונד רולקס שיעבור שם. במקרה של פיזיקה, חשבו על עקומות מפותלות של שבבי ברזל סביב מגנט. כעת הרחיקו את השבבים, ובמקום כל אחד מהם כתבו מספר או קבוצת מספרים שיתארו כיצד אמור להגיב כל שבב ושבב.
   למי שאינם מכירים את נקודת ההתחלה שלכם תהיה זו רק רשימה של מספרים. אך מי שמודעים לכוח המפתל שהמגנט מפעיל על שבבי ברזל יראו ברשימתכם תיאור חי. מבחינת מקסוול ופרדיי הדתיים, רשימתכם תהיה קריאה ישירה של הכוח הקדוש שיצר את השדה מלכתחילה.
8. כדי לשלוח גל אין צורך בכוח רב מדי. אם תקישו על אחד הקלידים של פסנתר, המיתר פשוט ירטוט הלוך ושוב, ותו לא; התבנית של הרטיטות הללו היא שתנוע ותוליך את הצליל. בין שני אנשים שעומדים במרחק קצר זה מזה בפרוזדור אפשר שיהיו מאות ליטרים של אוויר, אך הם אינם צריכים לנשוף קדימה את כל הכמות הזו כדי להגיד שלום. כל אחד מהם צריך לנשוף רק את הכמות הזעירה שסרעפתו יכולה להפיק, וזו תשלח את גל הדחיסה המתגלגל שיעשה את העבודה.
   גלי אור וגלים אלקטרומגנטיים בדרך כלל אינם מורכבים יותר. אם תניעו את מכוניתכם, המצת ישלח גל אלקטרומגנטי בעל כמה תדירויות, וזה יעבור דרך המתכת שסביבו ויגיע למסלולו של הירח בתוך שתי שניות; הגל יוסיף להתקדם החוצה, וכעבור כמה שעות יגיע למסלולו של צדק.
9. עבודתו של מקסוול היתה הישג אדיר - והיתה מרשימה אף יותר אילו כתב את ארבע המשוואות הנושאות את שמו. אך הוא לא כתב אותן. אין מדובר רק בשינוי של סימונים, שכן המשוואות שפיתח מקסוול לא כללו אפילו את הפרטים שבחן הרץ אחר-כך - הפרטים שהובילו להבנה שאפשר לשדר ולקלוט גלי רדיו כמו גלי אור.
   את סיפור השלמת משוואותיו של מקסוול, על-ידי קבוצה שהובילו שלושה פיזיקאים באנגליה ובאירלנד בשני העשורים לאחר מותו, תוכלו לקרוא בהרחבה אצל Bruce J. Hunt, The Maxwellians (Ithaca, N.Y.: Cornell University Press 1991).
10. או ליתר דיוק, שום דבר שמהירותו ההתחלתית נמוכה ממהירות האור אינו יכול לנוע מהר יותר. אך אם יש חלקיקים - או אולי יקום מקביל שלם - הממוקמים דרך קבע "מעברו האחר" של מחסום מהירות האור? זה נשמע כמו מדע בדיוני, אך פיזיקאים למדו לשמור על ראש פתוח. (ג'רלד פיינברג כינה את החלקיקים העל-אוריים התיאורטיים הללו טכיונים.) ראוי להדגיש עוד שאנו דנים במהירות האור בווקום; מהירות האור קטנה יותר בחומרים אחרים. על כן יהלומים נוצצים: האור הניתז מהם נע מהר יותר מן האור הצולל לתוכם.
    יש חריגים משמעותיים יותר - הנובעים מן ההשפעות של עקמומיויות שונות של מרחב-זמן על מהירויות יחסיות; חריגים אחרים עשויים לנבוע מאנרגיה שלילית, ויש גם תוצאות מרתקות באשר לפעימות אור העוברות את המהירות של "c" שלנו (אך בדרכים שמונעות העברת מידע נוסף בתהליך). אך אלה חורגים מעבר לרמה הטכנית של ספר זה. אני מניח שמדעני העתיד יתפלאו שאי פעם שקלנו זאת ברצינות - או שנדרש לנו זמן רב כל-כך להבין שזו הדרך לפתוח את הדיסנילנד הראשון באנדרומדה.
11. המילים הרגילות שלנו אינן מתפקדות היטב בתחום הזה, ועל כן יש לראות במונח התנפחות מטפורה בלבד. המעבורת - או פרוטון, או כל אובייקט אחר - אינה נעשית שמנה יותר בכל הכיוונים. כאן נכנסת לפעולה ההבחנה הטרחנית לכאורה בין שימור החומר לשימור המסה שהועלתה בפרק על לבואזיה. אם ההגדרה של מסה היא מידת ההתנגדות לתאוצה - זה מה שאנו מנסים להעריך כשאנו מרימים חפץ כדי לבדוק את משקלו - אזי מסה עשויה לגדול בלי שהחומר יתנפח כלפי חוץ. כל עוד גוברת ההתנגדות לתאוצה המופעלת, דרישות ההגדרה מתקיימות.
    במהירויות האיטיות ובתחומים שאנו מורגלים בהם הגידול במסה קטן מכדי שנוכל להבחין בו; משום כך היו תחזיותיו של איינשטיין מדהימות כל-כך. אך האפקט מתבהר ככל שהאובייקט המתרחק מאתנו מתקרב למהירות האור. התחזיות מדויקות מאוד.
    הדרך לחשב את מידת הגידול בכמות נתונה של מסה היא להעלות בריבוע את מהירותה, לחלקה בריבוע של מהירות האור, להפחית את התוצאה מ-1, לחשב את השורש הריבועי של זה, ואז להכפיל את המספר ההופכי במסה שמבקשים לחשב. קל יותר לבטא זאת בסמלים מתמטיים: אם מבקשים לחשב את מידת ההתנפחות של מסה הנעה במהירות "v", יש להכפיל את המסה המקורית "m" בביטוי (v²/c²-)1√/1.
    אפשר להבין טוב יותר משוואה אם בודקים את מאפייניה בערכים קיצוניים. אם v נמוך באופן ניכר מ-c - כלומר, אם המעבורת נעה באיטיות - אזי הביטוי (v²/c²-)1 שווה כמעט לאחת, כיוון ש- v²/c² קטן כל-כך. אין זה משנה אם אחר-כך מוציאים שורש ריבועי ולוקחים את המספר ההופכי - עדיין תקבלו ערך קרוב מאוד ל-1. ה-v המרבי של מעבורות החלל האמיתיות ששוגרו מפלורידה היה כ-29,000 קמ"ש. זהו אחוז קטן כל-כך ממהירות האור, עד שמסת המעבורת גדלה בפחות מאלפית האחוז גם אם היא נורית מחוץ לאטמוספירה במהירותה המרבית. אך אם מעבורת או אובייקט אחר ינועו במהירות גדולה ממש, באופן ש-v יתקרב ל-c, אזי הביטוי (v²/c²-)1 ישאף לאפס. במקרה כזה השורש הריבועי יהיה אף הוא קטן, וכשמחלקים 1 בשבר קטן התוצאה עצומה. אם תביטו באובייקט החולף מולכם במהירות של 99 אחוז ממהירות האור, תיראה לכם מסתו כאילו גדלה פי כמה.
    מפתה לחשוב שמדובר רק בהתפלפלות, ושאף-על-פי שאנו עשויים להתבלבל בחישובינו, "בעצם" אובייקט נע לא יהיה מסיבי יותר בשום צורה שתשנה משהו. אך המגנטים סביב טבעות המאיץ ב-CERN אכן צריכות להגביר את עוצמתן במידה כזו כדי לשמור במסלולו פרוטון הנע במהירות רבה כל-כך; אחרת ישגר אותו המנע של מסתו הגדלה אל תוך קירות המאיץ. אם רוצים למנוע מפרוטון הנע ב-90 אחוז ממהירות האור להחליק ממסלולו ולהתרסק, יש לספק כמות אנרגיה שתחזיק במסלולה מסה גדולה פי 2.5. אם המהירות עולה עד 99.9997 אחוז ממהירות האור, אזי הביטוי (v²/c²-)1√/1 נותן תוצאה גדולה פי 430. כאן מתחילות הבעיות במאיצים של CERN, משום שצריך למצוא דרך להפיק את האנרגיה הנוספת שלהם בלי שתודרך מנוחתם של אזרחי ז'נווה.
    אך אם נאמר רק שהביטוי (v²/c²-)1√/1 הוא כלל שיש למלא אחריו, לא נהיה שונים מן המורים הצייתנים וההולכים בתלם שאיינשטיין שנא כל-כך. באתר davidbodanis.com נבחן מדוע הכלל נכון.
12. דוגמת המעבורת משמשת רק כלי עזר; בהמשך הספר ניווכח שאנרגיה היא מסה: הדבר המאוחד הקרוי "מסה-אנרגיה" פשוט לובש צורות שונות, על-פי האופן שבו אנו תופסים אותו. מגבלות גופנו השברירי באות לידי ביטוי בכך שכמעט לעולם איננו משנים את מהירותנו באופן ניכר, ולפיכך אנו רואים את המסה מזווית "מעוותת" מאוד. בגלל העיוות הזה כמות האנרגיה ה"משתחררת" נראית גדולה כל-כך. (עם זאת, ראוי להדגיש שהשוויון בין מסה לאנרגיה מתקיים רק כאשר אובייקט נצפה מן הזווית המסוימת האחת שבה הוא במנוחה. הדבר חשוב במיוחד ביחסות הכללית, משום שכבידתו של אובייקט נובעת מן האנרגיה הכוללת שלו, ולא רק ממסת המנוחה שלו. בעמוד 172 בגוף הטקסט יש התייחסות לטיעון הזה בהקשר של חורים שחורים; באתר האינטרנט שלנו הרעיון מפותח באופן מעמיק יותר.)

	העתק קטע למסמך עריכה
סמנו את הקטע הרצוי על ידי העברת העכבר תוך כדי לחיצה על כפתור שמאלי בעכבר.<br> לאחר הסימון לחצו שוב על הכפתור "העתק קטע למסמך עריכה".
Ok