עמוד הבית > מדעי הרוח > פילוסופיה > לוגיקה
ישראל. משרד הבטחון. ההוצאה לאור


תקציר
מה הם פרדוקסים? ההפתעה שבפרדוקסים היא יכולתם להוכיח דבר אשר אנו בטוחים שאיננו נכון. כיצד קורה הדבר?



מהו פרדוקס?
מחברת: ד"ר ענת בילצקי


כתבי הקודש הנוצריים מספרים על הבישוף טיטוס, אשר נשלח על-ידי פאולוס הקדוש לאי כרתים לדאוג לצורכיהם הרוחניים של המאמינים- ולהפיץ את הנצרות בקרב הכופרים. משימתו של טיטוס היתה קשה כיוון שאנשי כרתים סבלו מפגמים מוסריים רבים. על פי הכתוב הזהיר פאולוס את טיטוס ואמר: "וכבר אמר אחד מהם, נביאם אשר בתוכם, בני קריטי כזבים הם מעולם וחיות רעות וכרשים עצלים. והעדות הזאת אמת היא..." (אגרת פולוס אל טיטוס, א, 13-12).

סיפור זה התפרסם במשך הדורות בגרסאות ובגלגולים שונים, ונקרא בשם "פרדוקס השקרן". מי ששומע אותו בפעם הראשונה עשוי להרים גבה, לתהות על העיסוק האובססיבי בו משך אלפי שנים, ולשאול: אז מה? כל שהאיש מכרתים מספר לנו הוא שכל אנשי כרתים שקרנים. אך הרהור נוסף יביא את השומע לשאול שאלות נוספות: אם האיש מכרתים בא אכן מכרתים, ואם הוא צודק וכל אנשי כרתים משקרים תמיד, הרי שהאיש מכרתים עצמו משקר. ואם כך, גם אמירתו שכל אנשי כרתים משקרים תמיד – גם היא שקר. יוצא מכך שאין זה נכון שכל אנשי כרתים משקרים תמיד, ואולי מישהו מהם דובר אמת בזמן כלשהו. אבל אם יש דוברי אמת בין אנשי כרתים, ייתכן שהאיש מכרתים, גיבור סיפורנו, אכן דובר אמת. ואם הוא דובר אמת, הרי שכל אנשי כרתים משקרים תמיד ולפיכך גם הוא שקרן ודובר שקר, וחוזר חלילה.

מה יש בו, בסיפור, שהופך אותו לפרדוקסלי? מדוע שלא נתייחס אליו כאל בדיחה, או סיפור לא הגיוני, או בדיה בלתי אפשרית? מה מפריע לנו בסיפור? מדוע הוא פרדוקס?

הרהורים על סיפורים מסוג השקרן מכרתים מעוררים שורה של שאלות הקשורות זו בזו. האם סיפור השקרן ודברי השקר שלו הם לולאה אינסופית בין אמת ושקר? האם האיש מכרתים הצליח לומר בו בזמן גם אמת וגם שקר? ואם הוא הצליח לדבר באופן לולאתי, אפילו באופן אינסופי - מה רע בכך? ושוב, מדוע הסיפור הוא פרדוקס? מה רע בפרדוקסים?

יש אנשים הטוענים כי השקר בסיפור השקרן מכרתים מפריע להם, כי אין הם אוהבים שקר. בתרבותנו ובמערכת הערכים בחברה שלנו האמת היא ערך חשוב והשקר מאוס. אילו בעיית השקרן מכרתים היתה העובדה שהוא דובר שקר - היינו מסתפקים בדחיית השקר. במילים אחרות, היינו אומרים: הרי לכם רשע - השקרן מכרתים שדיבר שקר - ומסיימים את הדיון בו. לו יכולנו להסתפק בכך, לא היה הסיפור זוכה לעיסוק הממושך והאובססיבי לו זכה.

אך השקרן מכרתים עושה יותר מכך - הוא מפיל אותנו בפח. אם נאמין לו יסתבר לנו שהוא דובר שקר, ואם לא נאמין לו יסתבר לנו שהוא דובר אמת. זאת ועוד. כשנאמין לו, יסתבר לנו מיד שאין להאמין לו, אך מיד אחר-כך יתברר לנו שיש להאמין לו. התייחסות רצינית לדבריו של השקרן, אם כך, מכניסה אותנו לסחרור ולעירוב של אמת ושקר. אין די בכך שנפסול את דבריו כשקריים, או כלא נכונים, ולכן אנו חייבים לבדוק מדוע אמירה שנדמית תמימה - נעשית מבלבלת ומזיקה ברגע שמנסים להבין אותה באמת. האם יש להשתמש במילה הקיצונית "מזיקה"? האם אין די במילה "מבולבלת"? למי "הזיק" השקרן מכרתים? אולי כל שעשה היה לבלבל את טיטוס?

השקרן מכרתים "מזיק" לנו, כבעלי מערכת מושגית, המתיימרים להבין מושגי יסוד כמו "אמת" ו"שקר". הוא מעורר חששות וספקות לגבי המושגים הללו. אמנם ידוע לכול שהאמת קשה להשגה. יש החושבים שהאמת היא יחסית, וידועה האימרה שלכל אמת יש שתי פנים. אך בעיות אלו, המוכרות לפילוסופים רבים, אינן הבעיות שמעורר הפרדוקס של השקרן מכרתים. סיפור השקרן מכרתים מעלה ספקות לגבי הבנתנו את מושג האמת, לא לגבי ידיעתנו את האמת. השקרן מכרתים מראה לנו שאיננו יכולים להבין משפט חסר יומרות, שאיננו אלא דיווח על אמירת אמת או שקר של אחרים, ומעורר את מודעותנו לכך שלפני שנתחיל להתחבט בשאלת החיפוש אחר האמת, עלינו לתת את דעתנו על השימוש במושג "אמת". סיפור השקרן מערפל, אם כן, את המערכת המושגית שלנו - שנראתה לנו, לפחות ברמות הבסיסיות שלה, ברורה ונקייה - וכופה עלינו בחינה מחודשת שלה. לכן ייתכן שלא היינו צריכים לומר "מזיק", שכן כל בחינה מחודשת המפזרת ערפל היא מועילה. ובכל זאת, אם יסתבר, בעקבות הבנת המשפט שאמר לנו השקרן מכרתים - שכל אנשי כרתים משקרים תמיד - שאי אפשר לומר משפט תמים, ויותר מזה, שאמירה זו מערערת את מושג האמת הבסיסי, ניאלץ להודות שהשקרן מזיק למערכת המושגית שלנו ולדיבור הרגיל והטבעי שלנו.

דוגמה נוספת לפרדוקס היא הסיפור על הרץ האגדי אכילס והצב. הסיפור - הנקרא הפרדוקס של זנון - מציג תחרות ריצה בין אכילס והצב ומעמיד בפנינו מצב מתעתע. נניח שאכילס, בהיותו לא רק מהיר אלא אף נדיב, מתחשב באטיותו של הצב ונותן לו "פור" בתחרות שנקבעה ביניהם, או, במילים אחרות, הצב יוצא לדרך לפני אכילס. כשהצב מגיע לחצי הדרך, יוצא אכילס לדרך (ידוע כי מהירותו של אכילס גדולה בהרבה - יותר מפי שניים - ממהירות הצב). אכילס רץ מהר וכעבור מספר דקות מגיע אף הוא לחצי הדרך. בינתיים הצליח הצב להתקדם מעט. אכילס ממשיך לרוץ ומגיע למקום אליו הגיע הצב, אך באותו זמן שוב הצליח הצב להתקדם, גם אם מעט מאוד הפעם. כהרף עין מגיע אכילס למקומו של הצב, אך בהרף עין זה מתקדם הצב עוד מרחק קטן מאוד מאוד. וכך ממשיכים אכילס והצב לרוץ, ובכל פעם שמגיע אכילס אל הצב, מתברר שהצב הקדים אותו במעט. המסקנה: אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

מה הופך סיפור זה לפרדוקס? האם גם כאן נוכל להצביע על מתח, על ערעור מושגים, על בעייתיות? נראה שהתשובה לכך חיובית, כי מיד לאחר הסיפור והסקת המסקנה ההגיונית – והדגש כאן הוא על ההיגיון - שאכילס לעולם לא ישיג את הצב, אנו אומרים בלבנו: שטויות, הרי כולם יודעים שאכילס ניצח את הצב. אך מהי המשמעות של "כולם יודעים"? כולם יודעים שאכילס ניצח את הצב, אך כולם גם יודעים לחשוב בהיגיון ולהסיק מן הסיפור שאכילס לעולם לא יוכל לנצח את הצב. בעוד שבסיפור השקרן קיים סחרור של המושגים "אמת" ו"שקר", סיפור אכילס והצב הוא סיפור פשוט שייגמר בשתי דרכים שונות: על פי ההיגיון מנצח הצב ועל פי הניסיון המעשי מנצח אכילס. ושוב נשאלת השאלה: מה מפריע לנו כאן? מה הופך את הסיפור לפרדוקס?

אמרנו כבר שהתרבות שלנו מעריכה את האמת ולא את השקר. בחיי יום-יום, כאשר עלינו לבחור בין שני דיווחים, נעדיף את הסיפור ה"אמיתי" על פני ה"שקרי". המדע, הבודק את התאוריות השונות המוצעות על-ידי מדענים, מצהיר (אם כי יש המערערים על כך) כי הוא מחפש אחר האמת ומעדיף את התאוריה הנכונה על זו שאינה נכונה. המדע, ואפילו החיים, מציעים לנו דרכים שונות לבדוק טענות ולהחליט אילו אמיתיות יותר ומאילו עלינו להתעלם. בתולדות המדע ידועים מצבים בהם תאוריות חלקו זו על זו וכל אחת מהן טענה שהיא אמיתית ומדווחת את האמת אודות העולם.

הסיפור על אכילס והצב הוא סיפור אחד בעל שני סיומים שונים הסותרים זה את זה. במילים אחרות, הסיפור מסתיים בניצחון אכילס את הצב, ואותו סיפור מסתיים גם בכך שאכילס איננו מנצח את הצב. לא נוכל לצאת ידי חובה ולטעון שלפעמים אכילס מנצח ולפעמים הצב מנצח, שכן אנו בטוחים (מניסיוננו) שאכילס תמיד מנצח, אך אנו מבינים שהניתוח ההגיוני איננו מאפשר לו לעקוף את הצב. קיימת סתירה בין שני הסיומים לסיפור ועלינו לבחור אחד מהם ולהצדיק בחירה זו. כל עוד לא מצאנו הצדקה טובה לדחות אחד משני הסיומים (זה המתבסס על ההיגיון או זה המתבסס על הניסיון) לא נוכל להימלט מן המתח שהסיפור יוצר בנו. סיפור אכילס והצב יוצר סתירה, ולא סתם שקר. יצירה בו-זמנית של שני צדי הסתירה, שאיננה מאפשרת ביטול אחד משני צדי הסתירה, מובילה לסוג הבעיות שאנו קוראים להן "פרדוקסים".

הספרות המקצועית (הכוונה לספרות הלוגית, המתמטית, המדעית והפילוסופית) מכילה הגדרות שונות לפרדוקס. המילה היוונית עצמה - פרה דוקסה - מרמזת על אופיים המיוחד של הסיפורים: פרה - ליד או מעבר, דוקסה - אמונה, דעה. כלומר, פרדוקס הינו טענה העומדת מצד או מעבר לדעה או לאמונה מקובלת. הגדרה זו היא מינימליסטית מדי ולכן גם מחטיאה: דעה שונה מהדעה המקובלת יכולה לגרום חוסר שקט, אך איננה חייבת לגרום מתח או לחץ שיוצרים הפרדוקסים בדרך כלל. לואיס קרול ,(Carroll) הלוגיקן המופלא שכתב את עליסה בארץ הפלאות, תיאר את הפרדוקסים כטיעונים המתכוונים להביך ולבלבל אותנו, שתכונתם הבולטת היא שהם מוכיחים כנכון את מה שאנו יודעים שאינו נכון. לוגיקנים פורמליים יותר איתרו את מקום הכפילות המובילה למסקנות סותרות. אם כן, הפרדוקס שונה מהדעה המקובלת, אך הוא שונה באופן מיוחד ומפתיע - בכך שהוא מכיל, לכאורה או למעשה, סתירה. בכך כוחו, בכך קסמו ובכך נזקו.

בכך כוחו, בכך קסמו ובכך נזקו - למי? לנו, תוצרים ברורים של החברה והמסורת האינטלקטואלית המערבית המחנכת אותנו אלפי שנים להימנע מסתירות. כתוצרי מסורת זו אנו נמלאים מתח כשאנו שומעים טענות וסיפורים המחייבים אותנו להכיר במציאותן של סתירות בלתי נמנעות. במקרה השקרן מכרתים הסתירה מתגלה במושג האמת שלנו; במקרה של אכילס והצב הסתירה מתגלה בתאור מצב שכיח בעולם. בסדרת הפרדוקסים שיתוארו בספר הזה יתגלו סתירות בתחומים רבים, שונים ומגוונים. מה שיהפוך את הסתירות האלו לפרדוקסים תהיה התחושה שהסתירה הינה בלתי נמנעת ושאין להכריע באופן ברור לצד זה או אחר. חוסר היכולת להכריע הכרעה ברורה הוא שיוצר את המתח, את אי הנחת שלנו.

פרדוקס השקרן מכרתים התעורר בעקבות דברים שנאמרו על- ידי השקרן. אך כיצד, או בעקבות מה, התעורר פרדוקס אכילס והצב? היכן ניתן למקם את הסתירה? האם במסלול המרוצים? ברגליו של אכילס? באטיותו של הצב? ברור שיש בעיה, אך האם יש למקם אותה במערכת המושגית שלנו (כמו שעשינו עם מושג האמת)? המושגים בסיפור אכילס והצב הינם מושגים כמו "מהירות", "אינסוף" וכדומה. מעבר למושגים, במקום אחר, קיים העולם; הייתכן שהעולם שלנו, על תכונות החלל והזמן שלו, מכיל את הסתירות בעצמו, ללא פנייה למערכת מושגית אנושית? ואולי קיימת אופציה שלישית, שתמקם את הסתירה לא במושגים מסוימים, ולא בעולם, אלא בחשיבה שלנו? פרדוקסים רבים באמתחתנו ועלינו להתמודד עם העובדה שאנו נידונים לדבר פרדוקסים בלשוננו, לפגוש פרדוקסים בעולמנו, ולהיקלע לפרדוקסים במחשבתנו.

ההיסטוריה מספקת לנו מאגר אדיר של פרדוקסים. את פרדוקס השקרן הכירו כבר היוונים, ומאז ועד היום נוספו סיפורים רבים שזכו לתווית פרדוקס: הפרדוקסים של זנון, פרדוקס הערמה, פרדוקס בוחן הפתע, פרדוקס העורבים, פרדוקס הקבוצות, פרדוקס הספר ועוד.

פרדוקס הספר מאלקלה מכיל מרכיבים המזכירים את סיפור השקרן מכרתים: בכפר אלקלה עובד ספר שמספר את אנשי הכפר. אוכלוסיית הכפר מתחלקת לשניים במדויק - אלה שיכולים לספר את עצמם, ואלה אשר מסיבות שונות אינם יכולים לספר את עצמם. ראש הכפר, בהיותו שוחר צדק, העביר חוק הקובע כי אצל הספר יכולים להסתפר כל האנשים אשר אינם מספרים את עצמם, ורק הם. האחרים - שידאגו לעצמם. גם סיפור זה אינו מעורר תהייה, עד אשר נשאל את עצמנו: ומי יספר את הספר עצמו? כדי להיכנס למספרה עליו להיות אדם שאינו מספר את עצמו. נניח, אם כן, שהספר אינו מספר את עצמו, אך לאחר שהוא נכנס למספרה (כאדם שאינו מספר את עצמו), הוא חייב, בהיותו ספר, לספר את עצמו. ואם נניח שהוא מספר את עצמו תמיד, הרי שיש למנוע ממנו את זכות הכניסה למספרה כדי לספר את עצמו, ואז הוא יימנה עם אלה שהוא אינו מספר, כלומר אדם שאינו מספר את עצמו. בקצרה: אם הוא מספר את עצמו הוא אינו מספר את עצמו, ואם הוא אינו מספר את עצמו, הרי שהוא מספר את עצמו. שוב - סתירה.

לעומת פרדוקס הספר, מעלה פרדוקס בוחן הפתע סוגיות ושאלות שונות לחלוטין, אך פרדוקסליות לא פחות. המורה מזהיר את כיתתו שבאחד מימי השבוע הבא יערוך בוחן פתע. ההפתעה בבוחן נעוצה בכך שאין לדעת באיזה יום מימי השבוע ייערך המבחן. התלמידים, מתייחסים ברצינות לדברי המורה, אינם רוצים להיות מופתעים ומנסים לגלות בדרך ההיגיון באיזה יום יינתן המבחן: המורה לא יוכל לקיים את המבחן ביום שישי ולשמור על ההפתעה שהרי ביום חמישי בערב, לאחר שכל השבוע לא נערך המבחן, התלמידים יידעו שהמבחן ייערך ביום שישי ולכן לא יופתעו ביום שישי. ביום שישי, אם כן, לא יתקיים המבחן, ואז בוחן הפתע יוכל להיערך בכל אחד מימי השבוע מלבד יום שישי. אך אם עד יום רביעי לא ייערך המבחן, ומכיוון שהוא לא יוכל להיערך ביום שישי, הם יידעו שהמבחן ייערך ביום חמישי ולכן לא יופתעו ביום חמישי. המורה ייאלץ, אם כן, לוותר גם על יום חמישי. באופן דומה מבוטלים גם שאר ימי השבוע ולכן ההנחה שהמורה יוכל לקיים את תכניתו ולערוך בוחן פתע במשך השבוע היא הנחה מוטעית. אך האם מקובל עלינו שחשיבתם של התלמידים אינה מוטעית? והאם לא נעלה חיוך כשיסתבר כי המורה הפתיע אותם וערך את בוחן הפתע ביום שלישי?

ולסיום - פרדוקס ניוקומב (Newcomb). אדם ניצב מול שתי קופסאות, האחת שקופה והשנייה אטומה. בשקופה ניתן לראות סך של 1.000 ש"ח. עליו להחליט אם לקחת את הקופסה האטומה בלבד, או את שתי הקופסאות. האינפורמציה שבידיו אומרת שבקופסה האטומה יש כבר סכום כסף, שהונח על-ידי מישהו היודע לנבא את מעשיו, על פי השיקולים הבאים: אם אותו אדם ניבא שהוא יחליט לקחת את שתי הקופסאות, הוא שם בקופסה האטומה 100 ש"ח. אם הוא ניבא שהוא יחליט לקחת את הקופסה האטומה בלבד, הוא שם בה 1,000,000 ש"ח. על האדם שעומד מול שתי הקופסאות להחליט, באופן רציונלי כמובן, על המעשה המועיל ביותר.

בדיקה מעמיקה של הבעיה מעלה שני טיעונים שונים, המובילים לשתי מסקנות שונות, ששתיהן רציונליות. הטיעון האחד גורס כי בין אם יש בקופסה האטומה 100 ש"ח או 1,000,000 ש"ח, ומכיוון שבכל מקרה הכסף כבר נמצא בתיבה, רציונלי יותר יהיה לקחת את שתי הקופסאות ובכך להגדיל את הסכום שנמצא ממילא בקופסה האטומה ב-1,000 ש"ח הנמצאים בקופסה השקופה. הטיעון השני מתבסס על הנחת קיום המנבא, וגורס כי בחירת קופסה אחת, הקופסה האטומה, תתאים את המעשה לניבוי ולפיכך תבטיח את הסכום של 1,000,000 ש"ח, בעוד שבחירת שתי התיבות תתאים לניבוי שלפיו שם 100 ש"ח בלבד בקופסה האטומה. לפיכך, רציונלי יותר יהיה לקחת את הקופסה האטומה בלבד. שני מעשים - שניהם רציונליים, אך סותרים זה את זה.

ייתכן שהדוגמאות שהובאו לעיל מחזקות את התחושה שאין הפרדוקסים אלא סיפורים משעשעים המזכירים עיסוק בבדיחות או בחידות יותר מאשר דיון פילוסופי שיטתי. כשם שאנו מנסים לפתור חידות, כך נוכל לעסוק בפיתרון פרדוקסים. כדי להבהיר את רצינותם, או לפחות כדי להסביר את רצינותם של העוסקים בפרדוקסים, יש לשחזר את הבעייתיות המיוחדת של הפרדוקסים.

ההפתעה שבפרדוקסים היא יכולתם להוכיח דבר אשר אנו בטוחים שאיננו נכון. כיצד קורה הדבר? או, נכון יותר, כיצד אנו עושים זאת? ניסוח מדויק יותר הוא כי הפרדוקסים נבנים מטיעונים אשר מובילים מהנחות מסוימות למסקנות מסוימות. הגורם לפרדוקסליות ממוקם בכפילות מסוימת של שני טיעונים, ששניהם תקפים, מתאימים בהנחותיהם ובדרך הסקת המסקנה לדרכי החשיבה הרגילות שלנו, ובכל זאת מסקנות שני הטיעונים סותרות זו את זו. תאור נוסף, שונה מעט, של הפרדוקסליות: טיעון המכיל הנחות סבירות המוביל אותנו, בדרכי חשיבה והיסק סבירות, למסקנה שאיננה סבירה. לשם דיוק בניסוח הנוכחי, יש להדגיש כי ההנחות "נראות" סבירות, דרכי ההיסק הינן "לכאורה" סבירות והמסקנה "נראית" בלתי סבירה. במצב פרדוקסלי כזה עלינו לבחור בין פסילת ההנחות (שנראו סבירות), שינוי דרכי ההיסק שלנו (שהיו לכאורה סבירות), או קבלת המסקנה (שנראתה לנו בלתי סבירה). בכל מקרה, עלינו לנקוט שינוי: שינוי עובדתי, שינוי לשוני או שינוי מחשבתי, והכרח מן הסוג הזה יוצר, אצל רובנו, מתח ולחץ.

מתחים ולחצים כאלה קיימים בתחומים שונים ורבים: פרדוקסים פיסיקליים - העוסקים בזמן, חלל ותנועה – כמו הפרדוקס של זנון; פרדוקסי עמימות, הנוצרים בעקבות העמימות שבשימוש הרגיל של המילים בשפה; פרדוקסים פרגמטיים, שמקורם ביכולתנו או באי יכולתנו לעשות את מה שאנו אומרים שניתן לעשות; פרדוקסים של רציונליות, המעמידים אותנו מול דילמות של בחירה רציונלית; פרדוקסים של המדע, הפונים לנורמות המחקר המדעי; פרדוקסים מתמטיים, המתעוררים מתוך מונחים מקובלים במתמטיקה שלנו, ופרדוקסים לוגיים/סמנטיים, העוסקים באופן כללי במערכת המחשבתית שלנו, ובפרט בשאלת האמת.

ריבוי התחומים בהם נמצא פרדוקסים מבהיר לאיזה חוקר יציקו פרדוקסים מסוימים. אך מה לפילוסוף או ללוגיקן ולמתחים הללו? אולי דווקא מכיוון שהתופעה הכללית, של סתירה מפתיעה ובלתי מפרה, קיימת בתחומים רבים ושונים כל כך, מנסים הפילוסופים לברר את מקורה של התופעה על מנת שאפשר יהיה להרפות את המתח. אך עלינו להיות מוכנים לכך שלא נצליח.
במילים אחרות: ייתכן שהתכונה הבולטת של הפרדוקסים היא אי יכולתנו לפתור אותם (או את חלקם).

ביבליוגרפיה:
כותר: מהו פרדוקס?
שם  הספר: פרדוקסים
מחברת: בילצקי, ענת (ד"ר)
עורכת הספר: אפרתי, הרצליה
תאריך: 1996
הוצאה לאור: ישראל. משרד הבטחון. ההוצאה לאור
הערות: 1. ספריית "אוניברסיטה משודרת".
2. עורכת הסדרה: תרצה יובל.
הערות לפריט זה: 1. המאמר הוא פרק א' בספר.
הספרייה הוירטואלית מטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית